第6講 - 乱数を用いた数値実験
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村田 昇
分析における課題
分析対象の集団の一部のデータのみを用いて， そこから集団全体の性質についての知見を得るには?
データ収集の問題
ランダム にデータを収集することで 分析における課題が解決できる根拠は？
データ収集の問題
ランダム にデータを収集することで 分析における課題が解決できる根拠は？
help(Random) 参照set.seed() 参照base::sample() : ランダムサンプリングstats::rbinom() : 二項乱数stats::runif() : 一様乱数
関数 sample() の使い方
#' 関数 sample() の使い方
x <- 1:10 # サンプリング対象の集合をベクトルとして定義
set.seed(123) # 乱数のシード値(任意に決めてよい)を指定
sample(x, 5) # xから5つの要素を重複なしでランダムに抽出
sample(x, length(x)) # xの要素のランダムな並べ替えとなる
sample(x, 5, replace=TRUE) # xから5つの要素を重複ありでランダムに抽出
sample(1:6, 10, replace=TRUE) # サイコロを10回振る実験の再現
sample(1:6, 10, prob=6:1, replace=TRUE) # 出る目の確率に偏りがある場合
[1] 3 10 2 8 6 [1] 5 4 6 8 1 2 3 7 9 10 [1] 9 9 9 3 8 [1] 2 2 1 6 3 4 6 1 3 5 [1] 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1
関数 rbinom()/runif() の使い方
#' 関数 rbinom() の使い方
rbinom(10, size=4, prob=0.5) # 確率0.5に対する次数4の二項乱数を10個発生
rbinom(20, size=4, prob=0.2) # 個数を20, 確率を0.2に変更
#' 関数 runif() の使い方
runif(5, min=-1, max=2) # 区間(-1,2)上の一様乱数を5個発生
runif(5) # 指定しない場合は区間(0,1)が既定値
[1] 3 0 2 3 1 2 1 1 3 3 [1] 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 [1] -0.6665937 -0.2691416 1.0041668 0.2529403 1.3645875 [1] 0.1028646 0.4348927 0.9849570 0.8930511 0.8864691
関数 set.seed() について
#' 関数 set.seed() の使い方
set.seed(1) # 乱数のシード値をseed=1で指定
runif(5)
set.seed(2) # 乱数のシード値をseed=2で指定
runif(5) # seed=1の場合と異なる系列が観測される
set.seed(1) # 乱数のシード値をseed=1で指定
runif(5) # 初めのseed=1の場合と同じ系列が再現される
[1] 0.2655087 0.3721239 0.5728534 0.9082078 0.2016819 [1] 0.1848823 0.7023740 0.5733263 0.1680519 0.9438393 [1] 0.2655087 0.3721239 0.5728534 0.9082078 0.2016819
計算機上の擬似乱数を利用した数値的解析
などと呼ばれる
関数 base::replicate() :
replicate(n, expr, simplify = "array")
#' n: 繰り返し回数
#' expr: 評価する手続き(関数を定義) (1回の実験に相当)
#' simplify: 出力の形式を指定
2つのサイコロを振る試行
#' 2つのサイコロを振る試行の数値実験
#' 試行(1回の実験)を行う関数を用意する
my_trial <- function(){ # この問題では引数は不要
dice <- sample(1:6, 2, replace=TRUE) # 2個のサイコロを振る
return(dice)
}
#' 乱数のシード値を指定
set.seed(20240524)
#' 確率シミュレーションを実行
my_data <- replicate(10, # 10回実験
my_trial()) # 実行する関数を指定
print(my_data) # 実験結果は行列(配列)として保存されている
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,] 3 2 6 5 5 1 3 4 2 4 [2,] 6 2 4 6 6 5 6 1 6 5
以下のようなコイン投げの賭けを考える
Alice と Bob の二人で交互にコインを投げ，最初に表が出た方を勝ちとする．
この賭けの勝率を求めるための確率シミュレーションを行いなさい
問題
ゲームの参加者の前に閉まった3つのドアがあって， 1つのドアの後ろには景品の新車が， 2つのドアの後ろには外れを意味するヤギがいる． 参加者は新車が置かれたドアを当てると新車がもらえる．
参加者が1つのドアを選択した後， 司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる． ここで参加者は，最初に選んだドアを残っているドアに変更してもよいと言われる．
参加者はドアを変更すべきだろうか？
問題
2次元平面上に等間隔 \(d\) で平行線が引いてある． 長さ \(l\) の針を この平面上にランダムに落としたとき， 平行線と交わる確率はいくつか？ ただし \(l\leq d\) とする．
問題
以下の条件のもと秘書を1人雇うとする．
- \(n\) 人が応募しており \(n\) は既知とする．
- 応募者には \(1\) 位から \(n\) 位まで順位付けできる．
- 無作為な順序で1人ずつ面接を行う．
- 毎回の面接後その応募者を採用するか否かを決定する．
- 不採用にした応募者を後から採用することはできない．
“\(r-1\) 番までの応募者は採用せず， \(r\) 番以降の応募者でそれまで面接した中で最も良い者を採用する” という戦略を取るとき，最適な \(r\) はいくつだろうか?