デジタル信号処理

信号処理 - 第12講

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村田 昇

前回のおさらい

デジタル信号処理

  • 計算機で信号を扱うための方法論
    • 連続時間では扱えない
    • 有限長のデータしか扱えない
  • 処理の流れ
    • アナログ信号をデジタル信号に変換 (A/D変換)
      • 標本化 (sampling) : 時間の離散化
    • 計算機上でデジタル信号を処理
    • デジタル信号をアナログ信号に変換 (D/A変換)

標本化定理

  • 定理

    信号 \(f(t)\) が \(B\,[\mathrm{Hz}]\) 未満の周波数 (Nyquist周波数)しか含んでいないなら， サンプリング周波数 \(2B\,[\mathrm{Hz}]\) を用いて元の信号は完全に求められる．

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エイリアシング

  • 折り返しによる雑音

    \(4\pi B\) 周期の関数 \(\tilde{f}\) を構成する際に重なりが生じ， \((-2\pi B,2\pi B)\) 領域を切り出しても 元に戻すことができない．

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離散 Fourier 変換と逆変換

  • 定義

    長さ \(N\) の信号 \(f(t),\;t=0,1,\dotsc,N{-}1\) の離散 Fourier 変換を以下で定義する．

    \begin{equation} \hat{f}(n) =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{t=0}^{N{-}1} f(t)e^{-i\frac{2\pi}{N}nt}, \quad (n=0,1,2,\dotsc,N{-}1) \end{equation}
    \begin{equation} f(t) =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n=0}^{N{-}1} \hat{f}(n)e^{i\frac{2\pi}{N}nt}, \quad (t=0,1,2,\dotsc,N{-}1) \end{equation}
    • 時間も周波数も有限であることに注意

行列による表現

  • 変換行列

    \begin{equation} F = \frac{1}{\sqrt{N}} \begin{pmatrix} 1&1&1&\dots&1\\ 1&\alpha^{-1}&\alpha^{-2}&\dots&\alpha^{-(N{-}1)}\\ \vdots&&&\ddots&\vdots\\ 1&\alpha^{-(N{-}1)}&\alpha^{-2(N{-}1)}&\dots&\alpha^{-(N{-}1)(N{-}1)} \end{pmatrix} \end{equation}
    \begin{equation} \alpha=e^{i\frac{2\pi}{N}} \end{equation}

  • 逆変換行列

    \begin{equation} F^{*} =\frac{1}{\sqrt{N}} \begin{pmatrix} 1&1&1&\dots&1\\ 1&\alpha^{1}&\alpha^{2}&\dots&\alpha^{(N{-}1)}\\ \vdots&&&\ddots&\vdots\\ 1&\alpha^{(N{-}1)}&\alpha^{2(N{-}1)}&\dots&\alpha^{(N{-}1)(N{-}1)} \end{pmatrix} \end{equation}

  • 行列表現

    \begin{equation} \begin{pmatrix} \hat{f}(0)\\ \hat{f}(1)\\ \vdots\\ \hat{f}(N{-}1) \end{pmatrix} = F \begin{pmatrix} f(0)\\ f(1)\\ \vdots\\ f(N{-}1) \end{pmatrix} \end{equation}
    \begin{equation} \hat{\boldsymbol{f}} =F \boldsymbol{f} \end{equation}
    \begin{equation} \boldsymbol{f} =F^{*} \hat{\boldsymbol{f}} \end{equation}

デジタル信号におけるフィルタの表現

  • 標本化されたフィルタの表現 (周期関数の畳み込み)

    \begin{align} g(t) &=f{*}h(t)\\ &=\sum_{s=0}^{N{-}1}f(s)h(t{-}s) =\sum_{s=0}^{N{-}1}f(t{-}s)h(s),\\ &\quad t=0,1,\dotsc,N{-}1 \end{align}
    • \(f,g,h\) : 周期 \(N\) の関数

有限長のデータ

  • 信号の一部の切り出し

    • 周期的な信号として扱う
    • 有界な台を持つ信号として扱う
    \begin{equation} f(t)=w(t)\tilde{f}(t) \end{equation}
  • 端点での不連続性を軽減するために窓関数を導入
    • 矩形窓 (単純な切り出し)
    • gauss 窓
    • hann 窓
    • hamming 窓

デジタル信号処理

デジタル信号処理の流れ

  • データの取得 (アナログ信号)
  • ローパスフィルタリング (標本化のための前処理)
  • A/D変換 (標本化; デジタル信号)
  • 窓関数による切り出し (有限長の時間表現)
  • 離散 Fourier 変換 (有限長の周波数表現; 複素数)
  • デジタルフィルタリング (有限個の周波数の操作)
  • 逆変換 (有限長の時間表現; デジタル信号)
  • 窓関数の影響を考慮して合成
  • D/A変換 (アナログ信号)

デジタルフィルタ

  • 音声信号

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スペクトログラム

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ローパスフィルタ

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ハイパスフィルタ

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音の合成

  • 正弦波の重ね合わせでさまざまな音色を合成
  • Fourier 級数展開で求めた係数を利用
    (離散 Fourier 変換では周波数に上限がある)

矩形波の合成 (1)

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矩形波の合成 (2)

square2.jpg


矩形波の合成 (3)

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矩形波の合成 (4)

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三角波の合成 (1)

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三角波の合成 (2)

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三角波の合成 (3)

triangle3.jpg


三角波の合成 (4)

triangle4.jpg

鋸波の合成 (1)

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鋸波の合成 (2)

sawtooth2.jpg


鋸波の合成 (3)

sawtooth3.jpg


鋸波の合成 (4)

sawtooth6.jpg

時間・周波数表現の比較

waves.001.jpeg


スペクトログラムの比較

waves.002.jpeg


高速 Fourier 変換

離散 Fourier 変換の計算量

  • 定義

    \begin{align} \hat{f}(n) &=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{t=0}^{N{-}1} f(t)e^{-i\frac{2\pi}{N}nt}, \quad (n=0,1,2,\dotsc,N{-}1)\\ &=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{t=0}^{N{-}1} f(t)\alpha^{-nt}, \quad \alpha=e^{i\frac{2\pi}{N}} \end{align}
  • 定義に従うと離散フーリエ変換の計算量は \(O(N^2)\)
    (\(N^2\)回程度の乗算が必要)

離散 Fourier 変換行列の性質

  • \(N=4\) で考える

    \begin{equation} \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&\alpha^{-1}&\alpha^{-2}&\alpha^{-3}\\ 1&\alpha^{-2}&\alpha^{-4}&\alpha^{-6}\\ 1&\alpha^{-3}&\alpha^{-6}&\alpha^{-9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&\alpha^{-1}&-1&\alpha^{-3}\\ 1&-1&1&-1\\ 1&\alpha^{-3}&-1&\alpha^{-1} \end{pmatrix} \end{equation}
    \begin{equation} \alpha=e^{i\frac{2\pi}{4}} \end{equation}

  • 2列目と3列目を入れ換える

    \begin{equation} \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&\alpha^{-1}&\alpha^{-3}\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&\alpha^{-3}&\alpha^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&0&\alpha^{-1}\\ 1&0&-1&0\\ 0&1&0&\alpha^{-3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1&0&0\\ 1&-1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 0&0&1&-1 \end{pmatrix} \end{equation}
    • 疎な行列の積になっている
    • \(N\not=4\)でも同様に議論できる

係数の分解

  • \(N\)は二つの整数の積\(N=N_{1}N_{2}\)とする

  • \(t\),\(n\)をそれぞれ\(N_{1}\),\(N_{2}\)で割った商と余りで表す

    \begin{align} t&=t_{1}+t_{2}N_{1},&&t_{1}=0,\dotsc,N_{1}{-}1,t_{2}=0,\dotsc,N_{2}{-}1\\ n&=n_{1}N_{2}+n_{2},&&n_{1}=0,\dotsc,N_{1}{-}1,n_{2}=0,\dotsc,N_{2}{-}1 \end{align}

  • 1の\(N_{1},N_{2}\)乗根を\(\beta,\gamma\)とする

    \begin{equation} \beta=e^{i\frac{2\pi}{N_{1}}},\quad \gamma=e^{i\frac{2\pi}{N_{2}}} \end{equation}

  • 係数は以下のように分解される

    \begin{align} \alpha^{-nt} &=\alpha^{-(n_{1}N_{2}+n_{2})(t_{1}+t_{2}N_{1})}\\ &=\alpha^{-n_{1}t_{2}N_{2}N_{1}} \alpha^{-n_{1}t_{1}N_{2}} \alpha^{-n_{2}t_{2}N_{1}} \alpha^{-n_{2}t_{1}}\\ &=\beta^{-n_{1}t_{1}}\gamma^{-n_{2}t_{2}}\alpha^{-n_{2}t_{1}}\\ \end{align}
    \begin{equation} \alpha=e^{i\frac{2\pi}{N}},\quad \beta=e^{i\frac{2\pi}{N_{1}}},\quad \gamma=e^{i\frac{2\pi}{N_{2}}} \end{equation}
    • 羃が\(n_{1}t_{2}N_{2}N_{1}\)の項は1になるので消えることに注意

計算の分解

  • 記法

    \begin{align} f(t)&=f(t_{1},t_{2}), &&t_{1}=0,\dotsc,N_{1}{-}1,t_{2}=0,\dotsc,N_{2}{-}1\\ \hat{f}(n)&=\hat{f}(n_{1},n_{2}) &&n_{1}=0,\dotsc,N_{1}{-}1,n_{2}=0,\dotsc,N_{2}{-}1 \end{align}

  • 定義

    \begin{align} \sqrt{N}\hat{f}(n_{1},n_{2}) &=\sum_{t=0}^{N{-}1}f(t)\alpha^{-nt}\\ &=\sum_{t_{1}=0}^{N_{1}{-}1}\sum_{t_{2}=0}^{N_{2}{-}1} f(t_{1},t_{2}) \beta^{-n_{1}t_{1}}\gamma^{-n_{2}t_{2}}\alpha^{-n_{2}t_{1}} \end{align}

  • 計算は以下のように分解される

    \begin{align} \bar{f}(t_{1},n_{2}) &=\sum_{t_{2}=0}^{N_{2}{-}1}f(t_{1},t_{2})\gamma^{-n_{2}t_{2}} &&\forall t_{1},n_{2}\\ \tilde{f}(t_{1},n_{2}) &=\bar{f}(t_{1},n_{2})\alpha^{-n_{2}t_{1}} &&\forall t_{1},n_{2}\\ \sqrt{N}\hat{f}(n_{1},n_{2}) &=\sum_{t_{1}=0}^{N_{1}{-}1}\tilde{f}(t_{1},n_{2})\beta^{-n_{1}t_{1}} &&\forall n_{1},n_{2}\\ \end{align}
    • 1行目は長さ\(N_{2}\)の離散 Fourier 変換(\(t_{2}\)から\(n_{2}\)への変換)を\(N_{1}\)回(各\(t_{1}\)ごと)
    • 3行目は長さ\(N_{1}\)の離散 Fourier 変換(\(t_{1}\)から\(n_{1}\)への変換)を\(N_{2}\)回(各\(n_{2}\)ごと)

計算量の漸化式

  • 長さ \(N_{i}\) の系列の離散 Fourier 変換の計算量(乗算回数)を\(T(N_i)\)

  • 長さ \(N=N_{1}N_{2}\)の系列の計算量\(T(N)\)

    \begin{align} T(N) &=N_{1}T(N_{2})+N+N_{2}T(N_{1})\\ &=N\left(\frac{T(N_{1})}{N_{1}}+\frac{T(N_{2})}{N_{2}}+1\right) \end{align}

  • 一般に \(N=N_{1}N_{2}\dots N_{P}\) のとき

    \begin{equation} T(N) =N\left(\sum_{i=1}^{P}\frac{T(N_i)}{N_i}+P-1\right) \end{equation}

  • 特に \(N=2^P,\;(P=\log_{2}N)\) のとき

    \begin{equation} T(N) =N\log_{2}N\left(\frac{T(2)}{2}+1\right)-N \quad\ll N^{2} \end{equation}

今回のまとめ

  • デジタル信号処理の例
    • スペクトログラム
    • デジタルフィルタ
    • 音の合成
  • 高速 Fourier 変換
    • 計算の分解表現
    • 計算量の評価