信号処理 - 第9講
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村田 昇
定義
入力 f(t) を変換して出力 g(t) を生成する機構
定義
2つの入出力関係を考えたとき, 入力の線形結合がそのまま出力に反映される性質
定義
入力の時刻が s ずれた場合,出力も s だけずれる性質
フィルタの積分表現
g(t)=∫∞−∞f(s)h(t−s)ds
インパルス応答
h(t)=∫∞−∞δ(s)h(t−s)ds=∫∞−∞h(s)δ(t−s)ds
時間領域では畳み込み積分
g(t)=∫∞−∞h(t−s)f(s)ds=h∗f(t)
周波数領域では関数の積
ˆg(ω)=√2π⋅ˆh(ω)⋅ˆf(ω)
定義
h(t)=0(t<0)
因果的フィルタの畳み込み
時刻 t での出力は 時刻 t 以前での入力のみにより定まる
g(t)=∫t−∞f(s)h(t−s)ds
δ(t) を入力した時のフィルタ出力
h(t)=∫∞−∞δ(s)h(t−s)ds
時間領域
Vout(t)=R2R1+R2Vin(t)
周波数領域
ˆVout(ω)=R2R1+R2ˆVin(ω)
逆 Fourier 変換
式を見易くするため a=1/CR とおく
h(t)=F−1[ˆh](t)=1√2π∫∞−∞ˆh(ω)eiωtdω=a2πi∫∞−∞eiωtω−iadω
留数定理
積分路が孤立特異点 c を含むとき以下が成り立つ
12πi∮f(z)dz=Resz=cf(z)=limz→c(z−c)f(z)
計算結果
h(t)={ae−at=1CRe−tCR,t>00,t<0