線形フィルタ回路

フィルタ

• 定義

  入力 $f(t)$ を変換して出力 $g(t)$ を生成する機構

線形性

• 定義

  2つの入出力関係を考えたとき， 入力の線形結合がそのまま出力に反映される性質

時不変性

• 定義

  入力の時刻が $s$ ずれた場合，出力も $s$ だけずれる性質

  • 時間が経過してもフィルタの性質は変わらない

線形時不変フィルタの数学的表現

• フィルタの積分表現

  $$\begin{equation} g(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(s)h(t{-}s)ds \end{equation}$$

• インパルス応答

  $$\begin{equation} h(t) =\int_{-\infty}^{\infty}\delta(s)h(t-s)ds =\int_{-\infty}^{\infty}h(s)\delta(t-s)ds \end{equation}$$

  • $h(t)$ はフィルタに $\delta(t)$ を入力した時の出力でもある

Fourier変換による表現

• 時間領域では畳み込み積分

  $$\begin{equation} g(t) =\int_{-\infty}^{\infty}h(t-s)f(s)ds = h{*}f(t) \end{equation}$$

  • 周波数領域では関数の積

    $$\begin{equation} \hat{g}(\omega) = \sqrt{2\pi}\cdot\hat{h}(\omega)\cdot\hat{f}(\omega) \end{equation}$$

  • フィルタの機能は周波数毎の振幅と位相の変換

因果的フィルタ

• 定義

  $$\begin{equation} h(t)=0\;(t<0) \end{equation}$$

  • 時刻0にインパルスが入力される前には何も出力がされない

• 因果的フィルタの畳み込み

  時刻 $t$ での出力は 時刻 $t$ 以前での入力のみにより定まる

  $$\begin{equation} g(t)=\int_{-\infty}^{t}f(s)h(t-s)ds \end{equation}$$

インパルス応答とは

• $\delta(t)$ を入力した時のフィルタ出力

  $$\begin{equation} h(t) =\int_{-\infty}^{\infty}\delta(s)h(t-s)ds \end{equation}$$

• 物理的には 面積1 ($\Delta \times 1/\Delta$) の矩形波に対する出力を 時間幅 $\Delta\to0$ としたときの波形

2端子対回路

例題

• 以下の回路の時間領域での入出力関係を求めよ．
• 同じく周波数領域での入出力関係を求めよ．

解答

• 時間領域

  $$\begin{equation} V_{out}(t) =\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{in}(t) \end{equation}$$

• 周波数領域

  $$\begin{equation} \hat{V}_{out}(\omega) =\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\hat{V}_{in}(\omega) \end{equation}$$

• 同じ形になることに注意

インパルス応答

• 逆 Fourier 変換

  式を見易くするため $a=1/CR$ とおく

  $$\begin{align} h(t) &=\mathcal{F}^{-1}[\hat{h}](t)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{h}(\omega)e^{i\omega t}d\omega\\ &=\frac{a}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega t}}{\omega-ia}d\omega \end{align}$$

• 複素積分の積分路
  • $t>0$ のとき， $ia$ を囲む上半平面
  • $t<0$ のとき， 下半平面

• 留数定理

  積分路が孤立特異点 $c$ を含むとき以下が成り立つ

  $$\begin{equation} \frac{1}{2\pi i}\oint f(z)dz =\mathrm{Res}_{z=c}f(z) =\lim_{z\to c}(z-c)f(z) \end{equation}$$

• 計算結果

  $$\begin{equation} h(t) = \begin{cases} a e^{-at}=\frac{1}{CR}e^{-\frac{t}{CR}},&t>0\\ 0,&t<0 \end{cases} \end{equation}$$