信号処理 - 第9講
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村田 昇
定義
入力 \(f(t)\) を変換して出力 \(g(t)\) を生成する機構
定義
2つの入出力関係を考えたとき, 入力の線形結合がそのまま出力に反映される性質
定義
入力の時刻が \(s\) ずれた場合,出力も \(s\) だけずれる性質
フィルタの積分表現
\begin{equation} g(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(s)h(t{-}s)ds \end{equation}
インパルス応答
\begin{equation} h(t) =\int_{-\infty}^{\infty}\delta(s)h(t-s)ds =\int_{-\infty}^{\infty}h(s)\delta(t-s)ds \end{equation}
時間領域では畳み込み積分
\begin{equation} g(t) =\int_{-\infty}^{\infty}h(t-s)f(s)ds = h{*}f(t) \end{equation}
周波数領域では関数の積
\begin{equation} \hat{g}(\omega) = \sqrt{2\pi}\cdot\hat{h}(\omega)\cdot\hat{f}(\omega) \end{equation}
定義
\begin{equation} h(t)=0\;(t<0) \end{equation}
因果的フィルタの畳み込み
時刻 \(t\) での出力は 時刻 \(t\) 以前での入力のみにより定まる
\begin{equation} g(t)=\int_{-\infty}^{t}f(s)h(t-s)ds \end{equation}
\(\delta(t)\) を入力した時のフィルタ出力
\begin{equation} h(t) =\int_{-\infty}^{\infty}\delta(s)h(t-s)ds \end{equation}
時間領域
\begin{equation} V_{out}(t) =\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{in}(t) \end{equation}
周波数領域
\begin{equation} \hat{V}_{out}(\omega) =\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\hat{V}_{in}(\omega) \end{equation}
逆 Fourier 変換
式を見易くするため \(a=1/CR\) とおく
\begin{align} h(t) &=\mathcal{F}^{-1}[\hat{h}](t)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{h}(\omega)e^{i\omega t}d\omega\\ &=\frac{a}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega t}}{\omega-ia}d\omega \end{align}
留数定理
積分路が孤立特異点 \(c\) を含むとき以下が成り立つ
\begin{equation} \frac{1}{2\pi i}\oint f(z)dz =\mathrm{Res}_{z=c}f(z) =\lim_{z\to c}(z-c)f(z) \end{equation}
計算結果
\begin{equation} h(t) = \begin{cases} a e^{-at}=\frac{1}{CR}e^{-\frac{t}{CR}},&t>0\\ 0,&t<0 \end{cases} \end{equation}