線形フィルタ

前回のおさらい

Fourier 級数展開

• 定理

  \(f\in L^{2}(-\pi,\pi)\) は 以下のように Fourier級数展開 される．

  \begin{align} f(x) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle f,\phi_{n}\rangle\phi_{n}(x)\\ &\phi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\;n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \end{align}

  内積は \(f,g\in L^{2}(-\pi,\pi)\) に対して 以下で定義する．

  \begin{equation} \langle f,g\rangle =\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx \end{equation}

Fourier 変換と反転公式

• 定義

  \(\mathbb{R}\) 上の関数 \(f\) に対して

  \begin{align} \hat{f}(\omega) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx &\text{(Fourier変換)}\\ f(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega &\text{(逆Fourier変換)} \end{align}

  で定義する．

Parseval の定理

• 定理

  関数 \(f,g\) は \(f,g \in L^{1}(\mathbb{R})\cap L^{2}(\mathbb{R})\) とする． このとき以下の関係が成り立つ．

  \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\overline{g(x)}dx = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)\overline{\hat{g}(\omega)}d\omega \end{equation}

  \begin{equation} \langle f,g\rangle = \langle \hat{f},\hat{g}\rangle \end{equation}

Plancherel の定理

• 定理

  関数 \(f\) は \(f \in L^{1}(\mathbb{R})\cap L^{2}(\mathbb{R})\) とする． このとき以下の関係が成り立つ．

  \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}dx = \int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\omega)|^{2}d\omega \end{equation}

  \begin{equation} \|f\|_{L^{2}} = \|\hat{f}\|_{L^{2}} \end{equation}

Riemann-Lebesgue の補題

• 定理

  関数 \(f\in L^{1}(\mathbb{R})\) は滑らかで \(f'\in L^{1}(\mathbb{R})\) とする． このとき以下の性質をもつ．

  \begin{equation} \lim_{|\omega|\to\infty}\hat{f}(\omega)=0 \end{equation}

演算との関係

演習

練習問題

• 関数

  \begin{equation} f(x)=\frac{1}{x-ia}\;(a>0) \end{equation}

  の Fourier 変換を求めよ．

  • Fourier 変換と逆 Fourier 変換の関係を利用
  • 複素積分を利用 (Cauchy の積分定理・留数定理)

練習問題

• 以下の関数の Fourier 変換を求めよ．

  \begin{equation} \frac{1}{x+ia}\;(a>0) \end{equation}

  \begin{equation} \frac{a}{x^{2}+a^{2}}\;(a>0) \end{equation}

  \begin{equation} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{2} \end{equation}

Fourier 変換の例

線形時不変フィルタ

注意

• 以降，音声や音楽などの時系列信号を扱う

• 時間 \(t\) を明示的に表すために

  \begin{equation} f(t),\,g(t),\,h(t) \end{equation}

  のように書く

フィルタ

• 定義

  入力 \(f(t)\) を変換して出力 \(g(t)\) を生成する機構

フィルタの例

• エレキギターのエフェクター (effects unit, pedal)
  • 歪み : オーバードライブ / ディストーション / ファズ
  • モジュレーション : コーラス / フランジャー / トレモロ
  • 空間系 : リバーブ / ディレイ
  • フィルタ : ワウ / ピッチシフター / ワーミー
  • その他 : イコライザー / コンプレッサー / ノイズゲート

フィルタ

• 関数 \(f(t)\) を関数 \(g(t)\) に変換する
• 関数に作用する作用素(演算子)
• いろいろな機能が有り得る
• 以降では理論的に扱い易い性質を想定

線形性

• 定義

  2つの入出力関係を考えたとき， 入力の線形結合がそのまま出力に反映される性質

線形フィルタ

• 線形性を持つフィルタ

• 入力の分解表現

  入力信号 \(f(t)\) を基底関数 \(\phi_{n}(t)\) を用いて分解

  \begin{equation} f(t)=\sum_{n}a_{n}\phi_{n}(t) \end{equation}

• フィルタによる基底関数の変換

• 出力の分解表現

  出力信号 \(g(t)\) は変換された基底関数 \(\psi_{n}(t)\) の合成

  \begin{equation} g(t)=\sum_{n}a_{n}\psi_{n}(t) \end{equation}

• 入出力の基底の変換にだけ着目すれば十分

非線形フィルタ

• 信号の変換において非線形作用を持つフィルタ
• 多くのフィルタは線形性を持っている

• 線形でない例 (エフェクタ)

  • ディストーション
  • オーバードライブ

  入力信号の振幅の大きさによって歪みが生じる

• 非線形フィルタでは出力から入力を再現することが難しい

時不変性

• 定義

  入力の時刻が \(s\) ずれた場合，出力も \(s\) だけずれる性質

  • 時間が経過してもフィルタの性質は変わらない

フィルタの数学的表現

信号の近似

• 信号 \(f(t)\) の階段関数近似

  \begin{equation} f_{\tau}(t)=\sum_{n} a_{n}\Delta(t{-}t_{n}) \end{equation}

• 階段関数の基底

  \(\Delta(t)\) は 区間 \((0,\tau)\) で高さ1となる単一の矩形波で， 時間 \(t_{n}=n\tau\) だけシフトした矩形波の集合

  \begin{equation} \Delta(t{-}t_{n})=\Delta(t{-}n\tau),\quad (n\text{ は整数}) \end{equation}

• 矩形波(基底関数)の変換

  矩形波 \(\Delta(t)\) はフィルタによって \(H(t)\) に変換される．

• 時不変性

  矩形波 \(\Delta\) を平行移動したものは フィルタの時不変性により \(H\) を平行移動したものとなる．

• 線形性

  フィルタの線形性から入力を定数倍すると 出力も定数倍される．

• 階段関数の変換

  階段関数

  \begin{equation} f_{\tau}(t)=\sum_{n}a_{n}\Delta(t{-}t_{n}) \end{equation}

  はフィルタにより \(H\) の線形和である

  \begin{equation} g_{\tau}(t)=\sum_{n}a_{n}H(t{-}t_{n}) \end{equation}

  に変換される．

積分による表現

• 階段関数の係数

  信号 \(f(t)\) の階段関数近似の係数は \(a_{n}=f(t_{n})=f(n\tau)\) とすれば良い．

  \begin{align} f_{\tau}(t)&=\sum_{n}f(t_{n})\Delta(t{-}t_{n}) =\sum_{n}f(n\tau)\Delta(t{-}n\tau)\\ g_{\tau}(t)&=\sum_{n}f(t_{n})H(t{-}t_{n}) =\sum_{n}f(n\tau)H(t{-}n\tau) \end{align}

• 矩形波の極限

  関数 \(\Delta(t)\) は 区間 \((0,\tau)\) で高さ1となる単一の矩形波なので， 極限は以下のようになる．

  \begin{equation} \delta_{\tau}(t)=\Delta(t)/\tau \xrightarrow{\tau\to0}\delta(t)\;(\text{デルタ関数}) \end{equation}

• 階段関数の極限

  \begin{align} f_{\tau}(t) &=\sum_{n}f(n\tau)\Delta(t{-}n\tau)/\tau\cdot\tau \xrightarrow{\tau\to0}\int f(s)\delta(t{-}s)ds\\ g_{\tau}(t) &=\sum_{n}f(n\tau)H(t{-}n\tau)/\tau\cdot\tau \xrightarrow{\tau\to0}\int f(s)h(t{-}s)ds \end{align}

  \begin{equation} H(t)/\tau \xrightarrow{\tau\to0}h(t) \end{equation}

  • \(n\tau=s\) とおいて区分求積法の原理を用いればよい

• フィルタの積分表現

  \begin{align} f(t)&=\int f(s)\delta(t{-}s)ds\\ g(t)&=\int f(s)h(t{-}s)ds \end{align}

インパルス応答

• 変換された信号の表現(畳み込み積分)

  \begin{equation} g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)h(t-s)ds \end{equation}

• 入力の表現

  \begin{equation} f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)\delta(t-s)ds \end{equation}

  • \(f(s)\) は時刻 \(s\) のインパルス \(\delta(t-s)\) の高さ

• フィルタの表現

  \begin{equation} h(t) =\int_{-\infty}^{\infty}\delta(s)h(t-s)ds =\int_{-\infty}^{\infty}h(s)\delta(t-s)ds \end{equation}

  • \(h(t)\) はフィルタに \(\delta(t)\) を入力した時の出力でもある
  • \(h(t)\) をフィルタの インパルス応答 という

因果的フィルタ

• 音響信号などのフィルタのインパルス応答

  \begin{equation} h(t)=0\;(t<0) \end{equation}

  • 時刻0にインパルスが入力される前には何も出力がされない
  • 時間を遡ることがないという意味で 因果的 という

• 因果的フィルタの畳み込み

  \begin{equation} h(t-s)=0\;(t < s) \end{equation}

  時刻 \(t\) での出力は 時刻 \(t\) 以前での入力のみにより定まる

  \begin{equation} g(t)=\int_{-\infty}^{t}f(s)h(t-s)ds \end{equation}

非因果的フィルタ

• 理想的なローパスフィルタ
  (物理的な回路では作成することができない)
• 画像処理に用いられるフィルタ
  (画素の上下左右に因果律があるわけではない)
• オフラインの信号処理
  (時間遅れを許容するデジタル信号処理)

演習

練習問題

• 線形時不変フィルタの機能は インパルス応答の畳み込み積分として表される．

  \begin{equation} g(t) =\int_{-\infty}^{\infty}h(t-s)f(s)ds = h{*}f(t) \end{equation}

  この関係を Fourier 変換を用いて表せ．

今回のまとめ

• 線形時不変フィルタ
  • 線形性
  • 時不変性
  • 因果的フィルタ
• フィルタの数学的表現
  • 階段関数近似
  • 重ね合わせの原理
  • 畳み込み積分
  • インパルス応答