信号処理 - 第8講
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村田 昇
定理
f∈L2(−π,π) は 以下のように Fourier級数展開 される.
f(x)=∞∑n=−∞⟨f,ϕn⟩ϕn(x)ϕn(x)=1√2πeinx,n=0,±1,±2,…内積は f,g∈L2(−π,π) に対して 以下で定義する.
⟨f,g⟩=∫π−πf(x)¯g(x)dx
定義
R 上の関数 f に対して
ˆf(ω)=1√2π∫∞−∞f(x)e−iωxdx(Fourier変換)f(x)=1√2π∫∞−∞ˆf(ω)eiωxdω(逆Fourier変換)で定義する.
定理
関数 f,g は f,g∈L1(R)∩L2(R) とする. このとき以下の関係が成り立つ.
∫∞−∞f(x)¯g(x)dx=∫∞−∞ˆf(ω)¯ˆg(ω)dω⟨f,g⟩=⟨ˆf,ˆg⟩
定理
関数 f は f∈L1(R)∩L2(R) とする. このとき以下の関係が成り立つ.
∫∞−∞|f(x)|2dx=∫∞−∞|ˆf(ω)|2dω‖f‖L2=‖ˆf‖L2
定理
関数 f∈L1(R) は滑らかで f′∈L1(R) とする. このとき以下の性質をもつ.
lim|ω|→∞ˆf(ω)=0
関数 | Fourier変換 |
---|---|
f′(x) (微分) | iωˆf(ω) |
f(k)(x) (k階微分) | (iω)kˆf(ω) |
f∗g(x) (畳み込み) | √2πˆf(ω)ˆg(ω) |
Taf(x)=f(x−a) (移動) | e−iaωˆf(ω) |
Dbf(x)=f(bx) (拡大縮小) | 1/b⋅ˆf(ω/b) |
関数
f(x)=1x−ia(a>0)
の Fourier 変換を求めよ.
以下の関数の Fourier 変換を求めよ.
1x+ia(a>0)
ax2+a2(a>0)
(sin(x)x)2
関数 | Fourier変換 |
---|---|
Ξ(−1,1)(x),x∈R | √2πsinωω |
e−ax2,x∈R | 1√2ae−ω2/4a |
1x−ia,x∈R,a>0 | √2πieaωΞ(−∞,0)(ω) |
1x+ia,x∈R,a>0 | −√2πie−aωΞ(0,∞)(ω) |
ax2+a2,x∈R,a>0 | √π2e−a|ω| |
時間 t を明示的に表すために
f(t),g(t),h(t)
のように書く
定義
入力 f(t) を変換して出力 g(t) を生成する機構
定義
2つの入出力関係を考えたとき, 入力の線形結合がそのまま出力に反映される性質
入力の分解表現
入力信号 f(t) を基底関数 ϕn(t) を用いて分解
f(t)=∑nanϕn(t)
出力の分解表現
出力信号 g(t) は変換された基底関数 ψn(t) の合成
g(t)=∑nanψn(t)
線形でない例 (エフェクタ)
入力信号の振幅の大きさによって歪みが生じる
定義
入力の時刻が s ずれた場合,出力も s だけずれる性質
信号 f(t) の階段関数近似
fτ(t)=∑nanΔ(t−tn)
階段関数の基底
Δ(t) は 区間 (0,τ) で高さ1となる単一の矩形波で, 時間 tn=nτ だけシフトした矩形波の集合
Δ(t−tn)=Δ(t−nτ),(n は整数)
矩形波(基底関数)の変換
矩形波 Δ(t) はフィルタによって H(t) に変換される.
時不変性
矩形波 Δ を平行移動したものは フィルタの時不変性により H を平行移動したものとなる.
線形性
フィルタの線形性から入力を定数倍すると 出力も定数倍される.
階段関数の変換
階段関数
fτ(t)=∑nanΔ(t−tn)はフィルタにより H の線形和である
gτ(t)=∑nanH(t−tn)に変換される.
階段関数の係数
信号 f(t) の階段関数近似の係数は an=f(tn)=f(nτ) とすれば良い.
fτ(t)=∑nf(tn)Δ(t−tn)=∑nf(nτ)Δ(t−nτ)gτ(t)=∑nf(tn)H(t−tn)=∑nf(nτ)H(t−nτ)
矩形波の極限
関数 Δ(t) は 区間 (0,τ) で高さ1となる単一の矩形波なので, 極限は以下のようになる.
δτ(t)=Δ(t)/ττ→0→δ(t)(デルタ関数)
階段関数の極限
fτ(t)=∑nf(nτ)Δ(t−nτ)/τ⋅ττ→0→∫f(s)δ(t−s)dsgτ(t)=∑nf(nτ)H(t−nτ)/τ⋅ττ→0→∫f(s)h(t−s)dsH(t)/ττ→0→h(t)
フィルタの積分表現
f(t)=∫f(s)δ(t−s)dsg(t)=∫f(s)h(t−s)ds
変換された信号の表現(畳み込み積分)
g(t)=∫∞−∞f(s)h(t−s)ds
入力の表現
f(t)=∫∞−∞f(s)δ(t−s)ds
フィルタの表現
h(t)=∫∞−∞δ(s)h(t−s)ds=∫∞−∞h(s)δ(t−s)ds
音響信号などのフィルタのインパルス応答
h(t)=0(t<0)
因果的フィルタの畳み込み
h(t−s)=0(t<s)時刻 t での出力は 時刻 t 以前での入力のみにより定まる
g(t)=∫t−∞f(s)h(t−s)ds
線形時不変フィルタの機能は インパルス応答の畳み込み積分として表される.
g(t)=∫∞−∞h(t−s)f(s)ds=h∗f(t)
この関係を Fourier 変換を用いて表せ.