信号処理 - 第7講
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村田 昇
定理
\(f\in L^{2}(-\pi,\pi)\) は 以下のように Fourier 級数展開 される．
\begin{align} f(x) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle f,\phi_{n}\rangle\phi_{n}(x) \end{align}\begin{equation} \phi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\;n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \end{equation}内積は \(f,g\in L^{2}(-\pi,\pi)\) に対して 以下で定義する．
\begin{equation} \langle f,g\rangle =\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx \end{equation}
定義
\(\mathbb{R}\) 上の関数 \(f\) に対して
\begin{align} \hat{f}(\omega) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx &\text{(Fourier 変換)}\\ f(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega &\text{(逆 Fourier 変換)} \end{align}で定義する．
定理
\begin{equation} f(x)=\lim_{\epsilon\to0}f_{\epsilon}(x) =\lim_{\epsilon\to0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)e^{-\epsilon\omega^{2}+i\omega x}d\omega \end{equation}より正確には \(f\in L^{1}\cap L^{p}\) であれば， 上の式は \(L^{p}\) の意味で成り立つと表現される．
\begin{equation} \lim_{\epsilon\to0}\|G_{\epsilon}*f-f\|_{L^{p}}=0 \end{equation}
関数 \(\Xi\) を以下で定義する．
\begin{equation} \Xi_{(a,b)}(x) = \begin{cases} 1,& x\in (a,b)\\ 0,&\text{それ以外} \end{cases} \end{equation}
以下の関数の Fourier 変換を求めよ．
変換の演算子
例えば以下のように使う.
\begin{align} \hat{f}&=\mathcal{F}[f],\quad &f&=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}]\\ \hat{f}(\omega)&=\mathcal{F}[f](\omega),\quad &f(x)&=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}](x) \end{align}
引数に関する注意
関数の引数(変数)は単なる名前なので何でも良い．
\begin{align} \mathcal{F}[f](\alpha) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(\beta)e^{-i\alpha\beta}d\beta\\ \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}](\beta) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\alpha)e^{i\alpha\beta}d\alpha \end{align}
定義
\begin{equation} \|f\|_{L^{1}}=\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx<\infty,\quad f\in L^{1}(\mathbb{R}) \end{equation}
Fourier 変換の存在 (各点)
\begin{align} |\hat{f}(\omega)| &= \left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\right|\\ &< \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)e^{-i\omega x}|dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx<\infty \end{align}\begin{equation} \|\hat{f}\|_{L^{\infty}} \left(=\sup_{\omega}|\hat{f}(\omega)|\right) < \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\|f\|_{L^{1}} \end{equation}
\(|x|\to\infty\) での挙動
適当に大きな値 \(M>0\) に対して
\begin{equation} |f(x)|>\epsilon>0,\;|x|>M \end{equation}とすると，以下のように絶対可積分に矛盾する．
\begin{equation} \int_{-\infty}^{-M}|f(x)|dx+ \int_{M}^{\infty}|f(x)|dx >\epsilon\times\text{(積分区間)}\to\infty \end{equation}したがって以下の性質が成り立つ．
\begin{equation} \lim_{|x|\to\infty}f(x)=0 \end{equation}
定理
関数 \(f,g\) は \(f,g \in L^{1}(\mathbb{R})\cap L^{2}(\mathbb{R})\) とする． このとき以下の関係が成り立つ．
\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\overline{g(x)}dx = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)\overline{\hat{g}(\omega)}d\omega \end{equation}\begin{equation} \langle f,g\rangle = \langle \hat{f},\hat{g}\rangle \end{equation}
略証
反転公式と同様に収束因子を考える．
\begin{align} &\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\overline{\hat{g}(\omega)} e^{-\epsilon \omega^{2}}d\omega\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\overline{g(y)e^{-i\omega y}}dy\cdot e^{-\epsilon \omega^{2}}d\omega\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\overline{g(y)}G_{\epsilon}(x-y) dxdy\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\overline{g_{\epsilon}(x)} dx \end{align}\(\epsilon\to0\) とすると定理の両辺が一致することがわかる．
定理
関数 \(f\) は \(f \in L^{1}(\mathbb{R})\cap L^{2}(\mathbb{R})\) とする． このとき以下の関係が成り立つ．
\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}dx = \int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\omega)|^{2}d\omega \end{equation}\begin{equation} \|f\|_{L^{2}} = \|\hat{f}\|_{L^{2}} \end{equation}
定理
関数 \(f\in L^{1}(\mathbb{R})\) は滑らかで \(f'\in L^{1}(\mathbb{R})\) とする． このとき以下の性質をもつ．
\begin{equation} \lim_{|\omega|\to\infty}\hat{f}(\omega)=0 \end{equation}
略証
\begin{align} |\hat{f}(\omega)| &=\left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\right|\\ &<\left|\left[\frac{f(x)}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega}\right]_{-\infty}^{\infty}\right| +\left|\frac{1}{i\omega} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f'(x)e^{-i\omega x}dx\right|\\ &<\frac{1}{|\omega|} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\left|f'(x)\right|dx\\ &=\frac{1}{|\omega|}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\|f'\|_{L^{1}} \end{align}より明らか．
以下の問題に答えよ
関数 \(f(x)\) の Fourier 変換と 関数 \(g(x)=f(-x)\) の Fourier 変換の関係を考えよ．
以下の問題に答えよ
関数 \(f\) の Fourier 変換と 関数 \(g=f'\) の Fourier 変換の関係を考えよ．
以下の問題に答えよ
関数 \(f\) の Fourier 変換と 関数 \(g=f^{(k)}\) (k階微分)の Fourier 変換の関係を考えよ．
以下の問題に答えよ
関数 \(f,g\) の Fourier 変換と 関数 \(h=f{*}g\) の Fourier 変換の関係を考えよ．
\begin{equation} h(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y)dy = \int_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y)dy = f{*}g(x) \end{equation}
以下の問題に答えよ
関数 \(f(x)\) の Fourier 変換と 関数 \(g(x)=f(x-a)\) の Fourier 変換の関係を考えよ．
以下の問題に答えよ
関数 \(f(x)\) の Fourier 変換と 関数 \(g(x)=f(bx)\) (\(b>0\)) の Fourier 変換の関係を考えよ．
| 関数 | Fourier 変換 |
|---|---|
| \(f'(x)\) (微分) | \(i\omega\hat{f}(\omega)\) |
| \(f^{(k)}(x)\) (k階微分) | \((i\omega)^{k}\hat{f}(\omega)\) |
| \(f*g(x)\) (畳み込み) | \(\sqrt{2\pi}\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\) |
| \(T_{a}f(x)=f(x-a)\) (移動) | \(e^{-ia\omega}\hat{f}(\omega)\) |
| \(D_{b}f(x)=f(bx)\) (拡大縮小) | \({1}/{b}\cdot\hat{f}\left({\omega}/{b}\right)\) |
関数
\begin{equation} f(x)=\frac{1}{x-ia}\;(a>0) \end{equation}
の Fourier 変換を求めよ．
定義関数
関数 \(\Xi\) を以下で定義する．
\begin{equation} \Xi_{(a,b)}(x) = \begin{cases} 1,& x\in (a,b)\\ 0,&\text{それ以外} \end{cases} \end{equation}
代表的な例
| 関数 | Fourier 変換 |
|---|---|
| \(\Xi_{(-1,1)}(x),\;x\in\mathbb{R}\) | \(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin\omega}{\omega}\) |
| \(e^{-ax^{2}},\;x\in\mathbb{R}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2a}}e^{-\omega^{2}/4a}\) |
| \(\frac{1}{x-ia},\;x\in\mathbb{R},a>0\) | \(\sqrt{2\pi}ie^{a\omega}\Xi_{(-\infty,0)}(\omega)\) |
| \(\frac{1}{x+ia},\;x\in\mathbb{R},a>0\) | \(-\sqrt{2\pi}ie^{-a\omega}\Xi_{(0,\infty)}(\omega)\) |
| \(\frac{a}{x^{2}+a^{2}},\;x\in\mathbb{R},a>0\) | \(\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-a\vert\omega\vert}\) |