信号処理 - 第6講
(Press ? for help, n and p for next and previous slide)
村田 昇
ベクトル空間
線形演算について閉じた空間
内積空間
内積が定義されたベクトル空間
Hilbert 空間
ノルムに関して完備な内積空間
定理
可分な無限次元Hilbert空間には 可算個の要素からなる完全正規直交系が存在する．
定理
可分な無限次元Hilbert空間は \(l^{2}\) 空間と同型である．
定理
\(\{\phi_{k}\}\) が \(\mathcal{H}\) の完全正規直交系のとき 以下が成り立つ．
\begin{equation} \forall u\in\mathcal{H}\;\Rightarrow\; u=\sum_{k}\langle u,\phi_{k}\rangle\phi_{k} \end{equation}
定理
\(f\in L^{2}(-\pi,\pi)\) は 以下のように Fourier 級数展開 される．
\begin{align} f(x) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle f,\phi_{n}\rangle\phi_{n}(x) \end{align}\begin{equation} \phi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\;n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \end{equation}内積は \(f,g\in L^{2}(-\pi,\pi)\) に対して 以下で定義する．
\begin{equation} \langle f,g\rangle =\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx \end{equation}
以下が周期 \(T\) の直交系となるように \(\alpha\) を定めよ．
\begin{equation} \{e^{\alpha inx},\; n=0,\pm1,\pm2,\dotsc\} \end{equation}
以下を内積とするとき前問の直交系を正規化せよ．
\begin{equation} \langle f,g\rangle=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\overline{g(x)}dx \end{equation}
周期 \(2\pi\) の場合 (\(x\in[-\pi,\pi]\) で考えよ)
正規直交系 :
\begin{equation} \phi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\; n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \end{equation}
周期 \(T\) の場合 (\(x\in\left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right]\) で考えよ)
正規直交系 :
\begin{equation} \psi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{T}}e^{\frac{2\pi inx}{T}},\; n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \end{equation}
周期 \(T\) の場合
Fourier 級数展開は以下で与えられる．
\begin{align} f(x) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle f,\psi_{n}\rangle\psi_{n}(x)\\ &=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\frac{2\pi inx}{T}} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(y)e^{-\frac{2\pi iny}{T}}dy \end{align}
極限操作のための書き換え
ここで \(\frac{2\pi}{T}=\Delta\) とする．
\begin{equation} f(x)= \frac{\Delta}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{in\Delta x} \int_{-\frac{\pi}{\Delta}}^{\frac{\pi}{\Delta}}f(y)e^{-in\Delta y}dy \end{equation}
周期無限大における積分
\(T\) が十分大きい(\(\Delta\) が十分小さい)極限を考えるために， 以下の積分を定義する．
\begin{equation} \hat{f}(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-i\omega y}dy \end{equation}
級数和の近似
Fourier 展開の積分部分は \(\sqrt{2\pi}\hat{f}(n\Delta)\) で十分良く近似できると考え Riemann 和の形で書く．
\begin{equation} f(x)\simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{in\Delta x}\hat{f}(n\Delta)\Delta \end{equation}
区分求積法
Riemann 和は \(n\Delta\to\omega\), \(\Delta\to d\omega\) として積分で表される．
\begin{equation} \sum_{n=-\infty}^{\infty}g(n\Delta)\cdot\Delta \xrightarrow{\Delta\to0} \int_{-\infty}^{\infty}g(\omega)d\omega \end{equation}
周期無限大における表現
\begin{align} f(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega &\text{(反転公式)}\\ &=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{i\omega(x-y)}dy d\omega \end{align}
定義
\(\mathbb{R}\) 上の関数 \(f\) に対して
\begin{align} \hat{f}(\omega) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx &\text{(Fourier 変換)}\\ f(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega &\text{(逆 Fourier 変換)} \end{align}で定義する．
d次元の場合
\(\mathbb{R}^{d}\) 上の関数 \(f\) について
\begin{align} \hat{f}(\boldsymbol{\omega}) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^{d}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{x}}dx &\text{(Fourier 変換)}\\ f(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^{d}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{x}}d\omega &\text{(逆 Fourier 変換)} \end{align}で定義する． なお \(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{x}\) はベクトル \(\boldsymbol{\omega}\in\mathbb{R}^{d}\) とベクトル \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{d}\) の通常の内積である．
以下の積分値を求めよ．
\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon x^{2}}dx \end{equation}
関数 \(\Xi\) を以下で定義する．
\begin{equation} \Xi_{(a,b)}(x) = \begin{cases} 1,& x\in (a,b)\\ 0,&\text{それ以外} \end{cases} \end{equation}
以下の関数の Fourier 変換を求めよ．
定義関数
関数 \(\Xi\) を以下で定義する．
\begin{equation} \Xi_{(a,b)}(x) = \begin{cases} 1,& x\in (a,b)\\ 0,&\text{それ以外} \end{cases} \end{equation}
代表的な例
| 関数 | Fourier 変換 |
|---|---|
| \(\Xi_{(-1,1)}(x),\;x\in\mathbb{R}\) | \(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin\omega}{\omega}\) |
| \(e^{-ax^{2}},\;x\in\mathbb{R}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2a}}e^{-\omega^{2}/4a}\) |
| \(\frac{1}{x-ia},\;x\in\mathbb{R},a>0\) | \(\sqrt{2\pi}ie^{a\omega}\Xi_{(-\infty,0)}(\omega)\) |
| \(\frac{1}{x+ia},\;x\in\mathbb{R},a>0\) | \(-\sqrt{2\pi}ie^{-a\omega}\Xi_{(0,\infty)}(\omega)\) |
| \(\frac{a}{x^{2}+a^{2}},\;x\in\mathbb{R},a>0\) | \(\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-a\vert\omega\vert}\) |
step 1
関数 \(\hat{f}\) は各点で値が決まるが， 積分
\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega \end{equation}の値が存在するかどうかはわからない．
step 2
収束因子 \(e^{-\epsilon\omega^{2}}\) を用いて以下の積分を定義する．
\begin{align} f_{\epsilon}(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)e^{-\epsilon\omega^{2}}e^{i\omega x}d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\epsilon\omega^{2}+i\omega x}d\omega \int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{-i\omega y}dy\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(y)dy \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\epsilon\omega^{2}-i\omega(y-x)}d\omega \end{align}
step 3
指数の肩を整理する．
\begin{equation} -\epsilon\omega^{2}-i\omega(y-x) = -\epsilon\left(\omega+\frac{i(y-x)}{2\epsilon}\right)^{2} -\frac{(y-x)^{2}}{4\epsilon} \end{equation}
step 4
\(\omega\) の積分を行い \(f_{\epsilon}\) を整理する．
\begin{equation} f_{\epsilon}(x) =\frac{1}{\sqrt{4\pi\epsilon}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4\epsilon}}f(y)dy \end{equation}
step 5
関数 \(G_{\epsilon}\) (Gauss 核と呼ばれる)を
\begin{equation} G_{\epsilon}(x) =\frac{1}{\sqrt{4\pi\epsilon}} e^{-\frac{x^{2}}{4\epsilon}} \end{equation}と定義し， \(f_{\epsilon}\) を畳み込みで書き直す．
\begin{equation} f_{\epsilon}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} G_{\epsilon}(x-y)f(y)dy = G_{\epsilon}*f(x) \end{equation}
step 6
関数 \(G_{\epsilon}\) は以下の性質を持つことが 確かめられる．
- \(G_{\epsilon}(x)>0,\;\forall x\in\mathbb{R}\)
- \(\int_{-\infty}^{\infty}G_{\epsilon}(x)dx =1\)
- \(\forall\delta>0\) \(\lim_{\epsilon\to0}\int_{|x|>\delta}G_{\epsilon}(x)dx =0\)
したがって \(G_{\epsilon}\) は \(\epsilon\to0\) において Dirac の\(\delta\)関数になる．
定理
\begin{equation} f(x)=\lim_{\epsilon\to0}f_{\epsilon}(x) =\lim_{\epsilon\to0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)e^{-\epsilon\omega^{2}+i\omega x}d\omega \end{equation}より正確には \(f\in L^{1}\cap L^{p}\) であれば， 上の式は \(L^{p}\) の意味で成り立つと表現される．
\begin{equation} \lim_{\epsilon\to0}\|G_{\epsilon}*f-f\|_{L^{p}}=0 \end{equation}