Fourier 変換

ベクトル空間・内積空間・Hilbert 空間

• ベクトル空間

  線形演算について閉じた空間

• 内積空間

  内積が定義されたベクトル空間

• Hilbert 空間

  ノルムに関して完備な内積空間

Hilbert 空間の完全正規直交系

• 定理

  可分な無限次元Hilbert空間には 可算個の要素からなる完全正規直交系が存在する．

• 定理

  可分な無限次元Hilbert空間は $l^{2}$ 空間と同型である．

• 定理

  $\{\phi_{k}\}$ が $\mathcal{H}$ の完全正規直交系のとき 以下が成り立つ．

  $$\begin{equation} \forall u\in\mathcal{H}\;\Rightarrow\; u=\sum_{k}\langle u,\phi_{k}\rangle\phi_{k} \end{equation}$$

Fourier 級数展開

• 定理

  $f\in L^{2}(-\pi,\pi)$ は 以下のように Fourier 級数展開 される．

  $$\begin{align} f(x) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle f,\phi_{n}\rangle\phi_{n}(x) \end{align}$$

  $$\begin{equation} \phi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\;n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \end{equation}$$

  内積は $f,g\in L^{2}(-\pi,\pi)$ に対して 以下で定義する．

  $$\begin{equation} \langle f,g\rangle =\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx \end{equation}$$

Fourier 級数の一般化

• 周期 $2\pi$ の場合 ($x\in[-\pi,\pi]$ で考えよ)

  正規直交系 :

  $$\begin{equation} \phi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\; n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \end{equation}$$

• 周期 $T$ の場合 ($x\in\left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right]$ で考えよ)

  正規直交系 :

  $$\begin{equation} \psi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{T}}e^{\frac{2\pi inx}{T}},\; n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \end{equation}$$

• 周期 $T$ の場合

  Fourier 級数展開は以下で与えられる．

  $$\begin{align} f(x) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle f,\psi_{n}\rangle\psi_{n}(x)\\ &=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\frac{2\pi inx}{T}} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(y)e^{-\frac{2\pi iny}{T}}dy \end{align}$$

• 極限操作のための書き換え

  ここで $\frac{2\pi}{T}=\Delta$ とする．

  $$\begin{equation} f(x)= \frac{\Delta}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{in\Delta x} \int_{-\frac{\pi}{\Delta}}^{\frac{\pi}{\Delta}}f(y)e^{-in\Delta y}dy \end{equation}$$

• 周期無限大における積分

  $T$ が十分大きい($\Delta$ が十分小さい)極限を考えるために， 以下の積分を定義する．

  $$\begin{equation} \hat{f}(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-i\omega y}dy \end{equation}$$

• 級数和の近似

  Fourier 展開の積分部分は $\sqrt{2\pi}\hat{f}(n\Delta)$ で十分良く近似できると考え Riemann 和の形で書く．

  $$\begin{equation} f(x)\simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{in\Delta x}\hat{f}(n\Delta)\Delta \end{equation}$$

• 区分求積法

  Riemann 和は $n\Delta\to\omega$, $\Delta\to d\omega$ として積分で表される．

  $$\begin{equation} \sum_{n=-\infty}^{\infty}g(n\Delta)\cdot\Delta \xrightarrow{\Delta\to0} \int_{-\infty}^{\infty}g(\omega)d\omega \end{equation}$$

• 周期無限大における表現

  $$\begin{align} f(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega &\text{(反転公式)}\\ &=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{i\omega(x-y)}dy d\omega \end{align}$$

Fourier 変換と反転公式

• 定義

  $\mathbb{R}$ 上の関数 $f$ に対して

  $$\begin{align} \hat{f}(\omega) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx &\text{(Fourier 変換)}\\ f(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega &\text{(逆 Fourier 変換)} \end{align}$$

  で定義する．

多次元 Fourier 変換

• d次元の場合

  $\mathbb{R}^{d}$ 上の関数 $f$ について

  $$\begin{align} \hat{f}(\boldsymbol{\omega}) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^{d}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{x}}dx &\text{(Fourier 変換)}\\ f(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^{d}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{x}}d\omega &\text{(逆 Fourier 変換)} \end{align}$$

  で定義する． なお $\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{x}$ はベクトル $\boldsymbol{\omega}\in\mathbb{R}^{d}$ とベクトル $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{d}$ の通常の内積である．

応用上重要な関数の例

• 定義関数

  関数 $\Xi$ を以下で定義する．

  $$\begin{equation} \Xi_{(a,b)}(x) = \begin{cases} 1,& x\in (a,b)\\ 0,&\text{それ以外} \end{cases} \end{equation}$$

• 代表的な例

  関数	Fourier 変換
  $\Xi_{(-1,1)}(x),\;x\in\mathbb{R}$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin\omega}{\omega}$
  $e^{-ax^{2}},\;x\in\mathbb{R}$	$\frac{1}{\sqrt{2a}}e^{-\omega^{2}/4a}$
  $\frac{1}{x-ia},\;x\in\mathbb{R},a>0$	$\sqrt{2\pi}ie^{a\omega}\Xi_{(-\infty,0)}(\omega)$
  $\frac{1}{x+ia},\;x\in\mathbb{R},a>0$	$-\sqrt{2\pi}ie^{-a\omega}\Xi_{(0,\infty)}(\omega)$
  $\frac{a}{x^{2}+a^{2}},\;x\in\mathbb{R},a>0$	$\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-a\vert\omega\vert}$

証明

• step 1

  関数 $\hat{f}$ は各点で値が決まるが， 積分

  $$\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega \end{equation}$$

  の値が存在するかどうかはわからない．

• step 2

  収束因子 $e^{-\epsilon\omega^{2}}$ を用いて以下の積分を定義する．

  $$\begin{align} f_{\epsilon}(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)e^{-\epsilon\omega^{2}}e^{i\omega x}d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\epsilon\omega^{2}+i\omega x}d\omega \int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{-i\omega y}dy\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(y)dy \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\epsilon\omega^{2}-i\omega(y-x)}d\omega \end{align}$$

• step 3

  指数の肩を整理する．

  $$\begin{equation} -\epsilon\omega^{2}-i\omega(y-x) = -\epsilon\left(\omega+\frac{i(y-x)}{2\epsilon}\right)^{2} -\frac{(y-x)^{2}}{4\epsilon} \end{equation}$$

• step 4

  $\omega$ の積分を行い $f_{\epsilon}$ を整理する．

  $$\begin{equation} f_{\epsilon}(x) =\frac{1}{\sqrt{4\pi\epsilon}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4\epsilon}}f(y)dy \end{equation}$$

• step 5

  関数 $G_{\epsilon}$ (Gauss 核と呼ばれる)を

  $$\begin{equation} G_{\epsilon}(x) =\frac{1}{\sqrt{4\pi\epsilon}} e^{-\frac{x^{2}}{4\epsilon}} \end{equation}$$

  と定義し， $f_{\epsilon}$ を畳み込みで書き直す．

  $$\begin{equation} f_{\epsilon}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} G_{\epsilon}(x-y)f(y)dy = G_{\epsilon}*f(x) \end{equation}$$

• step 6

  関数 $G_{\epsilon}$ は以下の性質を持つことが 確かめられる．

  1. $G_{\epsilon}(x)>0,\;\forall x\in\mathbb{R}$
  2. $\int_{-\infty}^{\infty}G_{\epsilon}(x)dx =1$
  3. $\forall\delta>0$ $\lim_{\epsilon\to0}\int_{|x|>\delta}G_{\epsilon}(x)dx =0$

  したがって $G_{\epsilon}$ は $\epsilon\to0$ において Dirac の$\delta$関数になる．

  • Fourier 級数展開の証明で出た Poisson 核と同様な性質

反転公式

• 定理

  $$\begin{equation} f(x)=\lim_{\epsilon\to0}f_{\epsilon}(x) =\lim_{\epsilon\to0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)e^{-\epsilon\omega^{2}+i\omega x}d\omega \end{equation}$$

  より正確には $f\in L^{1}\cap L^{p}$ であれば， 上の式は $L^{p}$ の意味で成り立つと表現される．

  $$\begin{equation} \lim_{\epsilon\to0}\|G_{\epsilon}*f-f\|_{L^{p}}=0 \end{equation}$$