信号処理 - 第4講
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村田 昇
満たすべき条件
- \(a,b\in V\;\Rightarrow\;a+b\in V\) (線形性)
- \(a,b,c\in V\;\Rightarrow\;(a+b)+c=a+(b+c)\) (結合則)
- \(a,b\in V\;\Rightarrow\;a+b=b+a\) (交換則)
- \(\exists0\in V\;\text{s.t.}\;\forall a\in V,\;a+0=a\) (零元)
- \(\forall a\in V\;\Rightarrow\;\exists -a\in V\;\text{s.t.}\;a+(-a)=0\) (逆元)
- \(\forall \lambda\in K,\forall a\in V\;\Rightarrow\;\lambda a\in V\) (スカラ倍)
- \(\forall \lambda,\mu\in K,\forall a\in V\;\Rightarrow\;(\lambda\mu)a=\lambda(\mu a)\) (結合則)
- \(\exists 1\in K\;\text{s.t.}\forall a\in V,\;1a=a\) (\(K\) の単位元)
- \(\forall\lambda\in K,\forall a,b\in V\;\Rightarrow\;\lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b\) (分配則)
- \(\forall\lambda,\mu\in K,\forall a\in V\;\Rightarrow\;(\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a\) (分配則)
内積の定義
ベクトル空間の2つの要素 \(u,v\in\mathcal{H}\) に対して， 次の性質を持つ2変数関数を 内積 という．
- \(\langle u,u\rangle\geq0\) 特に \(\langle u,u\rangle=0\;\Rightarrow\;u=0\)
- \(\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle}\) (複素共役)
なお，体 \(K\) が実数の場合は \(\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle\)- \(\langle \alpha u+\beta u',v\rangle =\alpha\langle u,v\rangle+\beta\langle u',v\rangle\) (線形性)
定義
内積が定義されたベクトル空間を 内積空間 という．
完備性の定義
ある集合の中のCauchy列
\begin{equation} \lim_{n,m\to\infty}d(u_{n},u_{m})=0 \end{equation}の収束先 \(\lim_{n\to\infty}u_{n}\) がもとの集合に含まれるとき， その集合は 完備 であるという．
定義
ノルムに関して完備な内積空間を Hilbert 空間 という．
定義
Hilbert 空間 \(\mathcal{H}\) の 部分集合 \(\mathcal{A}\) が
\begin{equation} \forall\phi,\psi\in\mathcal{A},\,\phi\not=\psi\; \Rightarrow\; \langle \phi,\psi\rangle=0 \end{equation}となるとき， \(\mathcal{A}\) を 直交系 という．
さらに
\begin{equation} \forall\phi\in\mathcal{A}\;\Rightarrow\; \|\phi\|=\sqrt{\langle\phi,\phi\rangle}=1 \end{equation}となるとき， \(\mathcal{A}\) を 正規直交系 という．
定義
Hilbert 空間 \(\mathcal{H}\) の正規直交系 \(\{\phi_{k}\}\) が Parseval の等式
\begin{equation} \forall u\in\mathcal{H},\; \|u\|^{2}=\sum_{k}|\langle u,\phi_{k}\rangle|^{2} \end{equation}を満たすとき， \(\{\phi_{k}\}\) を 完全正規直交系 という．
定理
可分な無限次元 Hilbert 空間には 可算個 の要素からなる完全正規直交系が存在する．
定理
可分な無限次元 Hilbert 空間は \(l^{2}\) 空間と同型である．
定理
\(\{\phi_{k}\}\) が \(\mathcal{H}\) の完全正規直交系のとき 以下が成り立つ．
\begin{equation} \forall u\in\mathcal{H}\;\Rightarrow\; u=\sum_{k}\langle u,\phi_{k}\rangle\phi_{k} \end{equation}
\(\mathbb{R}\) 上の関数 \(f(x)\) が 周期 \(2\pi\) を持つ :
\begin{equation} f(x+2\pi)=f(x) \end{equation}
対象とする関数は2乗可積分な複素数値関数とする
\begin{equation} L^{2}(-\pi,\pi) =\left\{f\;\Big|\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2}dx < \infty\right\} \end{equation}
定理
\begin{equation} \left\{ \phi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\;n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \right\} \end{equation}とし， \(f,g\in L^{2}(-\pi,\pi)\) に対して内積を
\begin{equation} \langle f,g\rangle =\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx \end{equation}で定義する．
(定理のつづき)
\(f\in L^{2}(-\pi,\pi)\) は以下のように Fourier 級数展開 される．
\begin{align} f(x) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle f,\phi_{n}\rangle\phi_{n}(x)\\ &=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{inx}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)e^{-iny}dy\\ &=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)e^{in(x-y)}dy \end{align}
あとで示すように
\begin{equation} \left\{ \phi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\;n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \right\} \end{equation}
は \(L^{2}(-\pi,\pi)\) 上の 完全正規直交系 となる．
正規直交系 であること容易に確かめられる．
\begin{align} \langle\phi_{m},\phi_{n}\rangle &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{-inx}dx\\ &=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{e^{i(m-n)x}}{i(m-n)}\right]_{-\pi}^{\pi} =0\;(m\not=n), \end{align}\begin{equation} \langle\phi_{n},\phi_{n}\rangle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=1 \end{equation}
区間 \((-\pi,\pi)\) 上の周期関数 (鋸波)
\begin{equation} f(x)=x,\quad f \in L^{2}(-\pi,\pi) \end{equation}
係数は以下の式を計算すればよい
\begin{equation} \langle f,\phi_{n}\rangle =\int_{-\pi}^{\pi}x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-inx}dx \end{equation}
部分積分を用いて計算する (\(n\not=0\) のとき)
\begin{align} \langle f,\phi_{n}\rangle &=\int_{-\pi}^{\pi}x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-inx}dx\\ &=\left[x\cdot\frac{1}{-in\sqrt{2\pi}}e^{-inx}\right]_{-\pi}^{\pi} -\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot \frac{1}{-in\sqrt{2\pi}}e^{-inx}dx\\ &=\frac{\pi(-1)^{n}-(-\pi)(-1)^{n}}{-in\sqrt{2\pi}} -\left[\frac{e^{-inx}}{-n^{2}\sqrt{2\pi}}\right]_{-\pi}^{\pi}\\ &=\frac{i2\pi(-1)^{n}}{n\sqrt{2\pi}} -\frac{(-1)^{n}-(-1)^{n}}{-n^{2}\sqrt{2\pi}}\\ &=\frac{i\sqrt{2\pi}(-1)^{n}}{n} \end{align}
\(n=0\) も計算してまとめると以下のようになる
\begin{equation} x =i\sum_{\substack{n=-\infty\\n\not=0}}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}e^{inx} \end{equation}
Euler の公式
\begin{equation} e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx) \end{equation}
を用いると三角関数で書くことができる
\begin{equation} x =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sin{nx} \end{equation}
\(f(x)=|x|\) に対して \(x=0\) とすれば
\begin{equation} \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^{2}} = \frac{\pi^{2}}{8} \end{equation}
\(f(x)=x^{2}\) に対して \(x=0\) とすれば
\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{12} \end{equation}
三角関数による展開
Eulerの公式により以下のように変形することができる
\begin{align} f(x) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\phi_{n}(x) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{a_{n}}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}\\ &=\frac{a_{0}}{\sqrt{2\pi}} +\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a_{n}}{\sqrt{2\pi}}e^{inx} +\frac{a_{-n}}{\sqrt{2\pi}}e^{-inx}\right)\\ &=\frac{a_{0}}{\sqrt{2\pi}} +\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_{n}+a_{-n}}{\sqrt{2\pi}}\cos{nx} +i\frac{a_{n}-a_{-n}}{\sqrt{2\pi}}\sin{nx} \right) \end{align}
実数値関数の係数
関数 \(f(x)\) が実数値の場合
\begin{equation} \frac{a_{n}+a_{-n}}{\sqrt{2\pi}},\; i\frac{a_{n}-a_{-n}}{\sqrt{2\pi}} \end{equation}は実数になるので \(a_{n}\) と \(a_{-n}\) は複素共役の関係にある．
定義域の異なる基底
\(L^{2}(0,\pi)\) においては
\begin{align} &\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}},\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cos nx;\;n=1,2,\dotsc\right\}\\ &\left\{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin nx;\;n=1,2,\dotsc\right\} \end{align}がそれぞれ完全正規直交系となる．
以下の級数和を求めよ．
\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \quad \text{(Basel problem)} \end{equation}
step 1
関数 \(f\) が
\begin{equation} f(x) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle f,\phi_{n}\rangle\phi_{n}(x) \end{equation}と展開されたとする．
step 2
Bessel の不等式(の特殊な場合)から
\begin{equation} |a_{n}|<\|f\| \end{equation}であることはわかるが，
\begin{equation} f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}\phi_{n}(x) \end{equation}の和が存在するとは限らない．
step 3
収束因子を導入して収束する無限和の極限を考える．
\begin{equation} f_{r}(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}r^{|n|}\phi_{n}(x) \end{equation}\(0 < r < 1\) とすれば級数和は必ず存在する．
step 4
級数和が収束するので積分と和を交換してもよい．
\begin{align} f_{r}(x) &=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}r^{|n|}e^{inx} \int_{-\pi}^{\pi}f(y)e^{-iny}dy\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty}r^{|n|}e^{in(x-y)}f(y)dy \end{align}
step 5
積分の中の級数和に着目して
\begin{equation} P_{r}(x) =\frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty}r^{|n|}e^{inx} \end{equation}とおく(Poisson 核という)．
step 6
関数
\begin{equation} P_{r}(x) =\frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty}r^{|n|}e^{inx} \end{equation}の右辺の和の各項は \((-\pi,\pi)\) の周期関数なので， \((-\infty,\infty)\) に拡大可能である．
step 7
周期関数 \(f\) も同様に \((-\infty,\infty)\) に拡大可能であるので， 一周期分の積分区間を適切に取り直して
\begin{equation} f_{r}(x) =\int_{-\pi}^{\pi}P_{r}(x-y)f(y)dy =\int_{-\pi}^{\pi}P_{r}(y)f(x-y)dy \end{equation}と書き変えることができる．
step 8
右辺の級数和を計算すると 以下になる．
\begin{align} P_{r}(x) &=\frac{1}{2\pi} \left(\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}e^{inx} +\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}e^{-inx}\right)\\ &=\frac{1}{2\pi} \left(\frac{1}{1-re^{ix}}+\frac{re^{-ix}}{1-re^{-ix}}\right)\\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{1-r^{2}}{|1-re^{ix}|^{2}}\\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{1-r^{2}}{1+r^{2}-2r\cos{x}} \end{align}
step 9
\(r\to1\) とすると \(P_{r}(x)\) は Dirac の\(\delta\)関数 となる．
- \(P_{r}(x) > 0\) (3行目の表現より明らか)
\(P_{r}\) の一周期分の積分は
\begin{equation} \int_{-\pi}^{\pi}P_{r}(x)dx =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2\pi}\sum_{n}r^{|n|}e^{inx}dx=1 \end{equation}\(\forall\delta\;(0<\delta<\pi)\) に対して
\begin{equation} \lim_{r\to1}\sup_{\delta\leq|x|\leq\pi}P_{r}(x)=0 \end{equation}\(\cos x\) は上記の範囲では \(\cos\delta\) で最大となることから
\begin{equation} \frac{1-r^{2}}{1+r^{2}-2r\cos{x}} \leq\frac{1-r^{2}}{1+r^{2}-2r\cos{\delta}}\xrightarrow{r\to1}0 \end{equation}
step 10
\(f_{r}\) と \(f\) の差
\begin{equation} f_{r}(x)-f(x) =\int_{-\pi}^{\pi}P_{r}(y)\{f(x-y)-f(x)\}dy \end{equation}の積分を3つに分解して考える．
\begin{equation} \int_{-\pi}^{\pi} =\int_{-\pi}^{-\delta} +\int_{-\delta}^{\delta}+\int_{\delta}^{\pi} \end{equation}
step 11
\(\delta\) と \(r\) は適当に選ぶことができることに注意する．
- 積分の第1,3項では \(P_{r}\) をいくらでも小さくすることができる
- 第2項では \(f(x-y)-f(x)\) をいくらでも小さくすることできる
この結果， \(\delta\) と \(r\) とを適当に選ぶことによって 3つの積分の和はいくらでも小さくなる．
step 12
以上より，各点 \(x\) において
\begin{equation} \lim_{r\to1}f_{r}(x) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle f,\phi_{n}\rangle\phi_{n}(x) =f(x) \end{equation}となることが示された．
周期関数 (\(\in L^{2}(-\pi,\pi)\)) の Fourier 級数展開 :
\begin{equation} f(x) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle f,\phi_{n}\rangle\phi_{n}(x) \end{equation}
Fourier 基底の完全性 :
\begin{equation} \left\{ \phi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx},\;n=0,\pm1,\pm2,\dotsc \right\} \end{equation}は完全正規直交系である．