信号処理 - 第2講
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村田 昇
以下の条件を満たす
- \(a,b\in V\;\Rightarrow\;a+b\in V\) (線形性)
- \(a,b,c\in V\;\Rightarrow\;(a+b)+c=a+(b+c)\) (結合則)
- \(a,b\in V\;\Rightarrow\;a+b=b+a\) (交換則)
- \(\exists0\in V\;\text{s.t.}\;\forall a\in V,\;a+0=a\) (零元)
- \(\forall a\in V\;\Rightarrow\;\exists -a\in V\;\text{s.t.}\;a+(-a)=0\) (逆元)
- \(\forall \lambda\in K,\forall a\in V\;\Rightarrow\;\lambda a\in V\) (スカラ倍)
- \(\forall \lambda,\mu\in K,\forall a\in V\;\Rightarrow\;(\lambda\mu)a=\lambda(\mu a)\) (結合則)
- \(\exists 1\in K\;\text{s.t.}\forall a\in V,\;1a=a\) (\(K\) の単位元)
- \(\forall\lambda\in K,\forall a,b\in V\;\Rightarrow\;\lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b\) (分配則)
- \(\forall\lambda,\mu\in K,\forall a\in V\;\Rightarrow\;(\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a\) (分配則)
関数空間 \(C^{m}[0,1]\)
区間 \([0,1]\) 上の実数値関数で， \(m\) 階微分可能な関数の集合． 和とスカラ倍は以下で定義される．
\begin{align} &(f+g)(x)=f(x)+g(x)&&\text{(和)}\\ &(\lambda f)(x)=\lambda f(x)&&\text{(スカラ倍)} \end{align}
定義
\begin{equation} \lambda_{1}a_{1}+\dotsb+\lambda_{k}a_{k}=0 \end{equation}となるのが \(\lambda_{1}=\dotsb=\lambda_{k}=0\) に限られるとき， \(\{a_{1},\dotsc,a_{k}\}\) は 線形独立 であるという．
定義
\(V\) の極大独立集合を \(V\) の基底と呼ぶ． \(V\) の階数，すなわち極大独立集合の基数を \(V\) の 次元 (dimension) という．
極大独立集合
ある集合 \(S\) の線形独立な部分集合 \(B\subset S\) を考える． \(\forall b\in S-B\) において \(B\cup\{b\}\) が線形従属のとき， \(B\) は 極大独立集合 であるという．
定理
\(B=\{u_{1},\dotsc,u_{n}\}\) を \(V_{n}\) の基底とする． \(\forall b\in V_{n}\) は \(B\) に線形従属で，
\begin{equation} b=\lambda_{1}u_{1}+\dotsb+\lambda_{n}u_{n} \end{equation}と一意に表される．
定義
ベクトル空間の2つの要素 \(u,v\in\mathcal{H}\) に対して， 次の性質を持つ2変数関数を 内積 という．
- \(\langle u,u\rangle\geq0\) 特に \(\langle u,u\rangle=0\;\Rightarrow\;u=0\)
- \(\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle}\) (複素共役)
なお，体 \(K\) が実数の場合は \(\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle\)- \(\langle \alpha u+\beta u',v\rangle =\alpha\langle u,v\rangle+\beta\langle u',v\rangle\) (線形性)
定義
内積が定義されたベクトル空間を 内積空間 という．
幾何ベクトル空間
2つの有効線分のなす角 \(\theta\) とそ れぞれの長さ \(|u|,|v|\) を用いて定義
\begin{equation} \langle u,v\rangle = |u||v|\cos\theta \end{equation}
数ベクトル空間
2つの複素数値ベクトル \(u=(u_{1},u_{2},\dotsc,u_{n})\), \(v=(v_{1},v_{2},\dotsc,v_{n})\) に対して
\begin{equation} \langle u,v\rangle = \sum_{i=1}^{n}u_{i}\bar{v}_{i} \end{equation}ただし \(\bar{\cdot}\) は複素共役
関数空間
\(\mathbb{R}\) 上で定義された 2つの複素数値関数 \(u,v\) に対して
\begin{equation} \langle u,v\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}u(x)\overline{v(x)}dx \end{equation}
定義域が \(\Omega\) で表される場合に
\begin{equation} \langle u,v\rangle = \int_{\Omega}u(x)\overline{v(x)}dx \end{equation}
のように書くこともある
定義
\(u\in\mathcal{H}\) に対して， その ノルム を
\begin{equation} \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle} \end{equation}で定義する．
ノルムの性質
- \(\|u\|\ge0\) 特に \(\|u\|=0\;\Rightarrow\;u=0\)
- \(\|\alpha u\|=|\alpha|\|u\|,\;\forall\alpha\in K\)
(係数体 \(K\) としては \(\mathbb{R}\) か \(\mathbb{C}\) を考え， \(|\cdot|\) は \(K\) 上の絶対値を表す)- \(|\langle u,v\rangle|\leq\|u\|\cdot\|v\|\) (Cauchy-Schwarzの不等式)
- \(\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|\) (三角不等式)
内積空間では自然に距離が導入される
\(d(u,v)=\|u-v\|\) を考えると \(d\) は 距離 になっている．
定義
ある集合の中で無限に続く点列 \(u_{n}\) を考え， この点列がだんだん動かなくなる状況を考える．
\begin{equation} \lim_{n,m\to\infty}d(u_{n},u_{m})=0.\;\text{(Cauchy列という)} \end{equation}この点列の収束先 \(\lim_{n\to\infty}u_{n}\) がもとの集合に含まれるとき， その集合は 完備 であるという．
有理数は完備でない
点列 \(a_{n}\) を円周率の小数 \(n\) 桁以下を 切り捨てた数と定義する． 明らかに \(a_{n}\) は有限桁なので有理数であるが， \(\lim_{n\to\infty}a_{n}=\pi\) は無理数
実数の区間 \([0,1]\) は完備だが，\((0,1)\) は完備でない
点列 \(1/2n \in (0,1)\) であるが， \(\lim_{n\to\infty}1/2n=0\not\in (0,1)\)
定義
内積空間 \(\mathcal{H}\) がノルムに関して完備なとき， Hilbert 空間 という．
\(l^{2}\) 空間 (無限次元数ベクトル空間)
\begin{equation} l^{2}= \left\{u=(u_{1},u_{2},\dotsc),\;u_{i}\in K,\; \|u\|<\infty % \sum_{i=1}^{\infty}|u_{i}|^{2}<\infty \right\} \end{equation}\begin{equation} \langle u,v\rangle = \sum_{i=1}^{\infty}u_{i}\overline{v_{i}}, \quad \|u\|^{2} = \sum_{i=1}^{\infty}|u_{i}|^{2}. \end{equation}
\(L^{2}\) 空間
\begin{equation} L^{2}(\Omega)= \left\{ f\:\big|\:\|f\|<\infty % f\:\Big|\:\int_{\Omega}|f(x)|^{2}dx<\infty \right\} \end{equation}\begin{equation} \langle f,g\rangle = \int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx, \quad \|f\|^{2} = \int_{\Omega}|f(x)|^{2}dx \end{equation}