検定

検定とは

統計的仮説検定

• ある現象・母集団に対して仮定された仮説の真偽を データに基づいて統計的に検証する方法

  例: 新しい薬の効能が古い薬よりも優れていること(仮説)を 薬の治験結果(データ)から検証したい

• 推定と大きく異なるのは， 母集団の分布に対して何らかの 仮説 を考えるところ

検定の基本的手続き

1. 仮説を立てる
2. 仮説のもとで 検定統計量 が従う標本分布を調べる
3. 実際のデータから検定統計量の値を計算する
4. 計算された検定統計量の値が 仮説が正しいときに十分高い確率で 得られるかどうかを判断する

検定における仮説

• 帰無仮説

  検定統計量の分布を予想するために立てる仮説

• 対立仮説

  “帰無仮説が誤っているときに起こりうるシナリオ”として想定する仮説

  • 慣習として 帰無仮説を \(H_0\), 対立仮説を \(H_1\) で表す
  • “帰無仮説を捨てて無に帰する”ことを期待する場合が多い

帰無仮説と対立仮説

• 例: 薬の治験 (単純な場合)
  • 帰無仮説 \(H_0\): 新しい薬も古い薬も効能は同じ
  • 対立仮説 \(H_1\): 新しい薬と古い薬の効能は異なる
• 例: 薬の治験 (新薬がより良いことを期待する場合)
  • 帰無仮説 \(H_0\): 新しい薬も古い薬も効能は同じ
  • 対立仮説 \(H_1\): 新しい薬の方が古い薬より効能が高い

検定の用語

• 帰無分布

  帰無仮説が正しい場合に検定統計量が従う分布

• 棄却域

  帰無仮説の下で統計量の取り得るべき範囲の外の領域

• 仮説検定
  • 帰無仮説を 棄却: 帰無仮説は誤っていると判断すること
  • 帰無仮説を 受容: 帰無仮説を積極的に棄却できないこと
• 検定の誤り
  • 第一種過誤: “正しい帰無仮説を棄却する”誤り
  • 第二種過誤: “誤った帰無仮説を受容する”誤り

検定の設計指針

• 検定統計量 \(T\) に対して棄却域 \(R\) を設計

  • サイズ: 第一種過誤が 起きる確率

    \begin{equation} \text{(サイズ)} =P(\text{$T$ が$R$に含まれる}|\text{帰無仮説が正しい}) \end{equation}

  • 検出力: 第二種過誤が 起きない確率

    \begin{equation} \text{(検出力)} =P(\text{$T$ が$R$に含まれる}|\text{対立仮説が正しい}) \end{equation}

• 有意水準

  第一種過誤が起きる確率(サイズ)として許容する上限

棄却域の決め方

• 検定を構成する場合の一般的な戦略:
  棄却域 \(R_{\alpha}\) は以下のように設定する
  • サイズを小さく (有意水準 \(\alpha\) 以下に) 抑える

  • 可能な限り 検出力を大きく する

    \begin{align} P(T \in R_{\alpha}|\text{帰無仮説が正しい}) &\le\alpha\\ P(T \in R_{\alpha}|\text{対立仮説が正しい}) &\to\text{最大化} \end{align}
• 対立仮説によって棄却域の形は変わり得る

\(p\) 値 (有意確率)

• 帰無分布における検定統計量の評価:

  検定統計量の値が棄却域に含まれる有意水準の最小値を考える

• \(p\) 値 (有意確率): (検定統計量 \(T\), 棄却域 \(R_{\alpha}\))

  \begin{equation} \text{($p$ 値)} =\min\{\alpha\in(0,1)|\text{$T$ が$R_{\alpha}$に含まれる}\} \end{equation}
• \(p\) 値が有意水準未満のときに帰無仮説を棄却する

検定に関する注意

• 帰無仮説の受容の意味:

  帰無仮説が正しいと仮定しても矛盾は生じない

  帰無仮説の正しさを積極的に支持する結果ではない

• 第二種過誤:

  一般に第二種過誤の起こる確率については何ら仮定がないため， その確率は非常に大きい可能性がある

1標本正規母集団に対する検定

1標本データに対する仮定

• 観測データは独立同分布な確率変数列 \(X_1,X_2,\dotsc,X_n\)
• \(X_{i}\) は平均 \(\mu\), 分散 \(\sigma^2\) の正規分布に従う
• 以下では \(\mu\) および分散 \(\sigma^2\) に対する検定を説明

平均の検定

平均の検定

• 両側検定

  \(\mu_0\) を既知の定数として， 平均 \(\mu\) が真の平均 \(\mu_0\) であるか否かを検定する

  • 帰無仮説: \(\mu=\mu_0\)

  • 対立仮説: \(\mu\neq\mu_0\)

    \begin{equation} H_0:\mu=\mu_0\quad\text{vs}\quad H_1:\mu\neq\mu_0. \end{equation}

考え方

• 標本平均 \(\bar{X}\) が 真の平均 \(\mu_0\) とどの程度離れているかを検証
• 平均と分散の推定量を用いて検定統計量を構成

  • 標本平均: (正規分布に従う)

    \begin{equation} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \end{equation}

  • 不偏分散: (\(\chi^2\) 分布に従う)

    \begin{equation} s^2=\frac{1}{n{-}1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 \end{equation}

• 検定統計量:

  \begin{equation} t=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{s} \end{equation}
• 帰無分布 (帰無仮説 \(H_0\) のもとでの検定統計量 \(t\) の分布) は自由度 \(n{-}1\) の \(t\) 分布
• Studentの \(t\) 検定

棄却域を用いる場合

• 有意水準を選択: \(\alpha\in(0,1)\)
• 自由度 \(n{-}1\) の \(t\) 分布の \(1{-}\alpha/2\) 分位点: \(t_{1{-}\alpha/2}(n{-}1)\)

• \(H_0\) の下で以下が成立:

  \begin{equation} P(|t|>t_{1{-}\alpha/2}(n{-}1))=\alpha \end{equation}

• 第一種過誤の上限が \(\alpha\) の棄却域:

  \begin{equation} R_{\alpha}= \left(-\infty,-t_{1{-}\alpha/2}(n{-}1)\right) \cup\left(t_{1{-}\alpha/2}(n{-}1),\infty\right) \end{equation}

• データから検定統計量 \(t\) の値を計算

• 以下の場合，帰無仮説を棄却:

  \begin{equation} |t|>t_{1{-}\alpha/2}(n{-}1),\quad (t\in R_{\alpha}) \end{equation}

\(p\) 値を用いる場合

• \(p\) 値を計算: ( \(f(x)\):自由度 \(n{-}1\) の \(t\) 分布の密度)

  \begin{equation} \text{($p$ 値)} =2\int_{|t|}^\infty f(x)dx \end{equation}

• \(p\) 値が \(\alpha\) 未満なら帰無仮説を棄却:

  \begin{align} |t|>t_{1{-}\alpha/2}(n{-}1) &\Leftrightarrow \int_{-\infty}^{|t|}f(x)dx>1{-}\alpha/2\\ &\Leftrightarrow 2\int_{|t|}^\infty f(x)dx < \alpha \end{align}

対立仮説の違い

• 例: 薬の治験

  観測データ \(X_1,X_2,\dotsc,X_n\) (\(n\) 人の被験者の治験結果) に対する仮説:

  • 古い薬(高価)と新しい薬(安価)の効能が変わらない (両側検定)
  • 古い薬に比べて新しい薬の効能が改善した

• 対立仮説によって棄却域の形は変わりうる

平均の検定

• 片側検定

  \(\mu_0\) を既知の定数として， 平均 \(\mu\) が真の平均 \(\mu_0\) より大きいかを検定する

  • 帰無仮説: \(\mu=\mu_0\)

  • 対立仮説: \(\mu>\mu_0\)

    \begin{equation} H_0:\mu=\mu_0\quad\text{vs}\quad H_1:\mu>\mu_0. \end{equation}
• 検定統計量の標本分布:
  • 帰無仮説は同一なので検定統計量 \(t\) の帰無分布も同一となる
  • 対立仮説の下で \(t\) の値は正の方向に大きくなると期待される
• 棄却域 “\(t>c\)” (\(c\) は正の数) を考えるのが自然

棄却域を用いる場合

• 有意水準を選択: \(\alpha\in(0,1)\)
• 自由度 \(n{-}1\) の \(t\) 分布の \(1{-}\alpha\) 分位点: \(t_{1{-}\alpha}(n{-}1)\)

• \(H_0\) の下で以下が成立:

  \begin{equation} P(t>t_{1{-}\alpha}(n{-}1))=\alpha \end{equation}

• 第一種過誤の上限が \(\alpha\) の棄却域:

  \begin{equation} R_{\alpha}= \left(t_{1{-}\alpha}(n{-}1),\infty\right) \end{equation}

• データから検定統計量 \(t\) の値を計算

• 以下の場合，帰無仮説を棄却:

  \begin{equation} t>t_{1{-}\alpha}(n{-}1) \end{equation}

\(p\) 値を用いる場合

• \(p\) 値を計算: ( \(f(x)\):自由度 \(n{-}1\) の \(t\) 分布の密度)

  \begin{equation} \text{($p$ 値)}= \int_{t}^\infty f(x)dx \end{equation}
• \(p\) 値が \(\alpha\) 未満なら帰無仮説を棄却

両側検定と片側検定

• 右片側検定: 棄却域がある定数 \(a\) によって \((a,\infty)\)
• 左片側検定: 棄却域がある定数 \(a\) によって \((-\infty,a)\)
  • 右片側検定と左片側検定を合わせて 片側検定 と呼ぶ
• 両側検定: 棄却域がある定数 \(a < b\) によって \((-\infty,a)\cup(b,\infty)\)
• 平均の検定の場合:
  • 対立仮説を \(H_1:\mu\neq\mu_0\) にとった場合は両側検定
  • 対立仮説を \(H_1:\mu>\mu_0\) にとった場合は右片側検定
  • 対立仮説を \(H_1:\mu<\mu_0\) にとった場合は左片側検定

左片側検定

• 反対向きの対立仮説 \(\mu < \mu_0\) を考えた検定

  \begin{equation} H_0:\mu=\mu_0\quad\text{vs}\quad H_1:\mu < \mu_0. \end{equation}
• 自由度 \(n{-}1\) の \(t\) 分布の \(\alpha\) 分位点: \(t_{\alpha}(n{-}1)\)
• 検定の手続き

  • 以下の場合，帰無仮説を棄却:

    \begin{equation} t < t_{\alpha}(n{-}1) \end{equation}

  • 以下の \(p\) 値が \(\alpha\) 未満なら帰無仮説を棄却:

    \begin{equation} \text{($p$ 値)} =\int_{-\infty}^t f(x)dx \end{equation}

\(t\) 検定の関数

• 基本書式

  t.test(x, # 1標本の場合
         alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
         mu = 0, conf.level = 0.95, ...)
  

• 関数の引数
  • x : ベクトル．
  • alternative: 対立仮説 (両側，左片側，右片側)
  • mu: 検定対象の平均値
  • conf.level: 信頼区間の水準 (点推定・区間推定も行ってくれる)
  • ...: 他のオプション．詳細は help(t.test) を参照

演習

練習問題

• 適当な正規乱数を用いてMonte-Carlo実験を行い， t検定の過誤について調べなさい．

  ## 例えば適当な数値を指定して以下のような実験を行えばよい
  myTrial <- function(n){ 
      result <- t.test(rnorm(n,mean=mu0,sd=sd0),mu=mu0)
      return(result$p.value)}
  myData <- replicate(mc, myTrial(n))
  hist(myData) # p.valueの分布を見る
  table(myData<alpha)/mc # alpha以下のデータの数を調べる
  

• ある番組の視聴率が2桁に達したかどうか知りたいとする． \(n\) 人を対象にその番組を観たかどうか確認したところ

  \begin{equation} X_{i}= \begin{cases} 1,&\text{番組を観た}\\ 0,&\text{番組を観ていない} \end{cases},\; i=1,2,\dotsc,n \end{equation}

  という結果が得られたとする． これを検定するにはどうしたらよいか考えてみよ．

  ## Xの生成は例えば mu1 を真の視聴率として以下のようにすればよい
  x <- sample(0:1,n,replace=TRUE,prob=c(1-mu1,mu1))
  

分散の検定

分散の検定

• 両側検定

  \(\sigma_0^2\) を既知の定数として， 分散 \(\sigma^2\) が \(\sigma_0^2\) であるか否かを検定する

  • 帰無仮説: \(\sigma^2=\sigma_0^2\)

  • 対立仮説: \(\sigma^2\neq\sigma_0^2\)

    \begin{equation} H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\quad\text{vs}\quad H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2 \end{equation}

考え方

• 不偏分散 \(s^2\) が 真の分散 \(\sigma_{0}^{2}\) とどの程度離れているかを検証
• 分散の推定量の性質を用いて検定統計量を構成

  • 不偏分散: (\(\chi^2\) 分布に従う)

    \begin{equation} s^2=\frac{1}{n{-}1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 \end{equation}

• 検定統計量:

  \begin{equation} \chi^2=\frac{(n{-}1)s^2}{\sigma_0^2} \end{equation}
• 帰無分布は自由度 \(n{-}1\) の \(\chi^2\) 分布
• \(\chi^2\) 検定

棄却域を用いる場合

• 有意水準を選択: \(\alpha\in(0,1)\)
• 自由度 \(n{-}1\) の \(\chi^2\) 分布の \(\alpha/2\), \(1{-}\alpha/2\) 分位点: \(\chi^2_{\alpha/2}(n{-}1)\), \(\chi^2_{1{-}\alpha/2}(n{-}1)\)

• \(H_0\) の下で以下が成立:

  \begin{equation} P(\chi^2 < \chi^2_{\alpha/2}(n{-}1) \text{ または }\chi^2>\chi^2_{1{-}\alpha/2}(n{-}1)) =\alpha \end{equation}

• 第一種過誤の上限が \(\alpha\) となる棄却域:

  \begin{equation} R_{\alpha}= \left(-\infty,\chi^2_{\alpha/2}(n{-}1)\right) \cup\left(\chi^2_{1{-}\alpha/2}(n{-}1),\infty\right) \end{equation}

• データから検定統計量 \(\chi^2\) の値を計算

• 以下の場合，帰無仮説を棄却:

  \begin{equation} \chi^2 < \chi^2_{\alpha/2}(n{-}1) \text{ または }\chi^2>\chi^2_{1{-}\alpha/2}(n{-}1) \end{equation}

\(p\) 値を用いる場合

• \(p\) 値を計算: ( \(f(x)\): 自由度 \(n{-}1\) の \(\chi^2\) 分布の密度)

  \begin{equation} \text{($p$ 値)} =2\min\left\{\int_0^{\chi^2}f(x)dx,\int_{\chi^2}^\infty f(x)dx\right\} \end{equation}
• \(p\) 値が \(\alpha\) 未満なら帰無仮説を棄却

片側検定

• 対立仮説が片側 (右側対立仮説) の場合:
  • 帰無仮説: \(\sigma^2=\sigma_0^2\)

  • 対立仮説: \(\sigma^2>\sigma_0^2\)

    \begin{equation}%\label{two-side} H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\quad \text{vs}\quad H_1:\sigma^2>\sigma_0^2 \end{equation}
• (左側対立仮説 \(H_1:\sigma^2 < \sigma_0^2\) も以下の議論は同様)

棄却域を用いる場合

• 自由度 \(n{-}1\) の \(\chi^2\) 分布の \(1{-}\alpha\) 分位点: \(\chi^2_{1{-}\alpha}(n{-}1)\)

• 以下の場合，帰無仮説を棄却:

  \begin{equation} \chi^2>\chi^2_{1{-}\alpha}(n{-}1) \end{equation}

\(p\) 値を用いる場合

• \(p\) 値を計算: ( \(f(x)\):自由度 \(n{-}1\) の \(\chi^2\) 分布の密度)

  \begin{equation} \text{($p$ 値)} =\int_{\chi^2}^\infty f(x)dx \end{equation}
• \(p\) 値が \(\alpha\) 未満なら帰無仮説を棄却

\(\chi^2\) 検定の関数

• 関数 chisq.test はあるが目的が違うので注意

• 以下のように計算できる

  x # 観測データ
  sigma0 # 帰無仮説で用いる標準偏差
  n <- length(x) # データ数
  chi2 <- (n-1)*var(x)/sigma0^2 # 検定統計量
  p0 <- pchisq(chi2, df=n-1)
  2*min(p0, 1-p0) # p値 (両側検定の場合)
  

演習

練習問題

• 東京の気象データの気温の項目を用いて， 6月の気温の分散が， 月毎に計算した気温の分散の平均値より大きいかどうか検定せよ．

  myData <- read.csv("data/tokyo_weather.csv",
  		   fileEncoding="utf8")
  ## 月毎の気温の分散は以下で計算できる
  aggregate(気温~月,data=myData,FUN=var)
  ## この平均値は以下のように計算される
  mean(aggregate(気温~月,data=myData,FUN=var)$気温)
  

2標本正規母集団に対する検定

2標本データに対する仮定

• 2種類の観測データ:
  • \(X_1,X_2,\dotsc,X_m\)
  • \(Y_1,Y_2,\dotsc,Y_n\)
• 3つの条件を仮定:
  • \(X_1,X_2,\dotsc,X_m,Y_1,Y_2,\dotsc,Y_n\) は 独立な確率変数列
  • \(X_1,\dotsc,X_m\) は同分布で， 平均 \(\mu_1\), 分散 \(\sigma_1^2\) の正規分布に従う
  • \(Y_1,\dotsc,Y_n\) は同分布で， 平均 \(\mu_2\), 分散 \(\sigma_2^2\) の正規分布に従う
• 両者の平均や分散が一致するかどうかを検定する問題を考える

平均の差の検定

平均の差の検定

• 2種類のデータの平均が等しいか否かを検定する

  \begin{equation}%\label{mean-equal} H_0:\mu_1=\mu_2\quad\text{vs}\quad H_1:\mu_1\neq\mu_2 \end{equation}
• Behrens-Fisher問題
  • 正確かつ適切な検定を導出することは難しい
• Welch(またはSatterthwaite)の近似法
  • \(\chi^2\) 分布に従う独立確率変数列の一次結合の分布を， 1つの \(\chi^2\) 分布に従う確率変数の定数倍の分布で近似する方法
  • 平均と分散が元の確率変数と一致するように近似

考え方

• \(X_1,\dotsc,X_m\) および \(Y_1,\dotsc,Y_m\) の不偏分散: \(s_1^2\),\(s_2^2\)

  \begin{equation} s_1^2=\frac{1}{m{-}1}\sum_{i=1}^m(X_i-\bar{X})^2,\quad s_2^2=\frac{1}{n{-}1}\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2. \end{equation}
• 標本平均と不偏分散の性質:
  • \(\bar{X}-\bar{Y},s_1^2,s_2^2\) は独立となる
  • \((m{-}1)s_1^2/\sigma_1^2\) は自由度 \(m{-}1\) の \(\chi^2\) 分布に従う
  • \((n{-}1)s_2^2/\sigma_2^2\) は自由度 \(n{-}1\) の \(\chi^2\) 分布に従う

Welchの近似法

• 詳細は資料を参照
• 確率変数 \(s_1^2/m+s_2^2/n\) の分布を \(c\chi^2_\nu\) の分布で近似

• \(\chi^2_\nu\) は自由度 \(\nu\) の \(\chi^2\) 分布に従う確率変数

  \begin{equation} c=\frac{\frac{(\sigma_1^2/m)^2}{m{-}1} +\frac{(\sigma_2^2/n)^2}{n{-}1}}{\sigma_1^2/m+\sigma_2^2/n},\quad \nu=\frac{(\sigma_1^2/m+\sigma_2^2/n)^2}{\frac{(\sigma_1^2/m)^2}{m{-}1} +\frac{(\sigma_2^2/n)^2}{n{-}1}} \end{equation}
  • 平均と分散を合わせる

• 検定統計量:

  \begin{equation} t=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{s_1^2/m+s_2^2/n}} \simeq\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{c\chi^2_\nu}} \end{equation}
• \(\bar{X}-\bar{Y},s_1^2/m+s_2^2/n\) は独立
• \(\bar{X}-\bar{Y},c\chi^2_\nu\) も独立と考える
• \(t\) の分布は \((\bar{X}-\bar{Y})/\sqrt{c\chi^2_\nu}\) で近似できる

帰無分布の近似

• データの正規性から以下は標準正規分布に従う

  \begin{equation} \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1{-}\mu_2)} {\sqrt{\sigma_1^2/m+\sigma_2^2/n}} \end{equation}

• \(H_0\) の下で以下は自由度 \(\nu\) の \(t\) 分布に従う

  \begin{equation} t\simeq \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{c\chi^2_\nu}} =\frac{(\bar{X}-\bar{Y})/\sqrt{\sigma_1^2/m+\sigma_2^2/n}} {\sqrt{\frac{c}{\sigma_1^2/m+\sigma_2^2/n}\chi^2_\nu}} \end{equation}

• 検定統計量 \(t\) の帰無分布は自由度 \(\nu\) の \(t\) 分布で近似できる

• \(\nu\) は未知の分散 \(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) を含むので 不偏推定量 \(s_1^2,s_2^2\) で代用して, 次式で与えられる自由度 \(\hat{\nu}\) を用いる:

  \begin{equation} \hat{\nu} =\frac{(s_1^2/m+s_2^2/n)^2} {\frac{(s_1^2/m)^2}{m{-}1}+\frac{(s_2^2/n)^2}{n{-}1}}. \end{equation}
• Welchの \(t\) 検定

棄却域を用いる場合

• 有意水準を選択: \(\alpha\in(0,1)\)
• 自由度 \(\hat{\nu}\) の \(t\) 分布の \(1{-}\alpha/2\) 分位点: \(t_{1{-}\alpha/2}(\hat{\nu})\)

• 棄却域:

  \begin{equation} \left(-\infty,-t_{1{-}\alpha/2}(\hat{\nu})\right) \cup\left(t_{1{-}\alpha/2}(\hat{\nu}),\infty\right) \end{equation}

• 検定統計量 \(t\) の値を計算し，以下の場合は帰無仮説を棄却:

  \begin{equation} |t|>t_{1{-}\alpha/2}(\hat{\nu}) \end{equation}
• (\(p\) 値の計算や片側対立仮説への対応は前と同様)

対応がある場合の平均の差の検定

• 対応がある観測データの平均の差の検定では 2種類のデータ間の自然な対応を考慮することがある

  薬の投薬の例:

  • 2種類の薬の効能を比較するために被験者に両方の薬を投与
  • 被験者 \(i\) にそれぞれの薬を投与した場合の治験結果: \(X_i,Y_i\)
  • \(X_i\) と \(Y_i\) には“同一の被験者に対する治験結果”という意味で対応がある

• “対応がある観測値の差の平均が0” という帰無仮説を考える
• \(Z_i=X_i-Y_i\) \((i=1,\dotsc,n)\) として， \(Z_1,\dotsc,Z_n\) の平均が0か否かを検定すれば良い

\(t\) 検定の関数

• 基本書式

  t.test(x, y = NULL, # 2標本の場合
         alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
         mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,
         conf.level = 0.95, ...)
  

• 関数の引数
  • x,y : ベクトル．2標本の場合はyを指定する
  • alternative: 対立仮説 (両側，左片側，右片側)
  • mu: 検定対象の平均値
  • paired: 対応ありの場合は TRUE
  • var.equal: 2標本の分散を同じとして良い場合は TRUE

分散の比の検定

分散の比の検定

• 2種類のデータの分散が等しいか否かを検定する

  \begin{equation} H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\quad\text{vs}\quad H_1:\sigma_1^2\neq\sigma_2^2 \end{equation}

考え方

• \(X_1,\dotsc,X_m\) の不偏分散: \(s_1^2\)
• \(Y_1,\dotsc,Y_n\) の不偏分散: \(s_2^2\)
• このとき \(s_1^2,s_2^2\) は独立でそれぞれ
  • \((m{-}1)s_1^2/\sigma_1^2\) 自由度 \(m{-}1\) の \(\chi^2\) 分布に従う
  • \((n{-}1)s_2^2/\sigma_2^2\) は自由度 \(n{-}1\) の \(\chi^2\) 分布に従う

• 検定統計量:

  \begin{equation} F=\frac{s_1^2}{s_2^2} \end{equation}
• 帰無分布は自由度 \(m{-}1,n{-}1\) の \(F\) 分布

棄却域を用いる場合

• 有意水準を選択: \(\alpha\in(0,1)\)
• 自由度 \(m{-}1,n{-}1\) の \(F\) 分布の \(\alpha/2,\,1{-}\alpha/2\) 分位点: \(F_{\alpha/2}(m{-}1,n{-}1)\), \(F_{1{-}\alpha/2}(m{-}1,n{-}1)\)

• \(H_0\) の下では以下が成立:

  \begin{equation} P(F < F_{\alpha/2}(m{-}1,n{-}1) \text{ または }F > F_{1{-}\alpha/2}(m{-}1,n{-}1))=\alpha \end{equation}

• 第一種過誤の上限が \(\alpha\) の棄却域:

  \begin{equation} R_{\alpha}= \left(-\infty,F_{\alpha/2}(m{-}1,n{-}1)\right) \cup\left(F_{1{-}\alpha/2}(m{-}1,n{-}1),\infty\right) \end{equation}

• データから検定統計量 \(F\) の値を計算

• 以下の場合，帰無仮説を棄却

  \begin{equation} F < F_{\alpha/2}(m{-}1,n{-}1) \text{ または }F>F_{1{-}\alpha/2}(m{-}1,n{-}1) \end{equation}
• (\(p\) 値の計算や片側対立仮説への対応は前と同様)

F検定の関数

• 基本書式

  var.test(x, y, ratio = 1,
  	 alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
  	 conf.level = 0.95, ...)
  

• 関数の引数
  • x,y : ベクトル．
  • ratio: 検定する比率(1は同じかどうか)
  • alternative: 対立仮説 (両側，左片側，右片側)
  • conf.level: 信頼区間の水準 (点推定・区間推定も行ってくれる)

演習

練習問題

• 東京の気象データの気温の項目を用いて， 7月と8月の気温の平均が同じかどうか検定しなさい．
• 同様に3月と6月の気温の分散が同じかどうか検定しなさい．