確率・統計 - 第1講
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村田 昇
骰子(サイコロ)振り
“骰子を振って，どの目が出易いか調べる” という実験を考える． “骰子を振ること” が試行に対応し， “1, 2, 3, 4, 5, 6の目” が標本点となる．
ルーレット回し
周長1mの円盤を中心で回るように用意し，円周上に0から1の目盛りを付ける． また円周の外側の適当な位置に印を付ける． “ルーレットを回して止まったときに印が指している目盛りを読む” という実験を考える． “ルーレットを回すこと” が試行に対応し， “\((0,1]\) の間のいずれかの値” が標本点となる．
骰子振り
試行 \(T=\) “骰子を振る” の標本空間は \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) であり， 試行 \(T\) の結果2の目が出た場合は “\(\omega=2\) が観測された” という.
ルーレット回し
試行 \(T=\) “ルーレットを回す” の標本空間は \(\Omega=(0,1]\) である．
骰子振り
標本点は6つなので有限試行である．
ルーレット回し
標本点の数は数え切れないので無限試行である．
“1が出るまで骰子を振り続ける” 試行
出た目の数の列，例えば \(\langle 4,2,5,6,1\rangle\) が標本点になる．
標本点としていくらでも長い系列，例えば \(\Omega=\{\langle 1\rangle,\langle 2,1\rangle,\langle 3,1\rangle, \dotsc,\langle 4,2,5,6,1\rangle,\dotsc\}\) が存在するので， その要素の数は無限となる．
したがってこの試行は無限試行である．
標本点の集合，すなわち標本空間の部分集合
試行 \(T\) の結果として部分集合 \(A\) に属する標本点が出現することを “事象 \(A\) が起こる” と表現する．
骰子振り
事象 \(A\) として “偶数の目” \(A=\{2,4,6\}\) を考える．
4の目が出た場合は \(A\) に属している (\(4\in A\)) ので “事象 \(A\) が起こった” ことになり， 5の目が出た場合は \(5\not\in A\) なので “事象 \(A\) は起こらなかった” ことになる．
ルーレット回し
事象 \(A\) を区間 \((0,0.5]\) とする．
止まったときに印が \(0.5\) を指していれば \(0.5\in A\) なので “事象 \(A\) が起こった” ことになり， \(\pi/4=0.785\cdots\) を指していたら \(\pi/4\not\in A\) なので “事象 \(A\) は起こらなかった” ことになる．
\(A\) または \(B\) が起こること ⇔ \(A\cup B\) (和集合; union)
\(A\) と \(B\) が同時に起こること ⇔ \(A\cap B\) (交集合; intersection)
\(A\) が起こり \(B\) が起こらないこと ⇔ \(A\backslash B\) (差; difference)
\(A\) が起こらないこと ⇔ \(A^c\) または \(\bar{A}\) (補集合; complement)
\(A,B\) が同時に起こらない ⇔ \(A\cap B=\emptyset\) (互いに素; disjoint)
\(A\) と \(B\) が排反のとき \(A\cup B\) を \(A+B\) と書く
\(A\supset B\) のとき \(A\backslash B\) を \(A-B\) と書く
骰子振り
3つの事象
- 事象 \(A\) として “偶数の目” \(A=\{2,4,6\}\)
- 事象 \(B\) として “奇数の目” \(B=\{1,3,5\}\)
- 事象 \(C\) として “素数の目” \(C=\{2,3,5\}\)
を考えると，例えば
- \(A\) の余事象は \(B=A^{c}\)
- \(B\) と \(C\) の交事象は \(B\cap C=\{3,5\}\) ，
- \(A\) と \(C\) の和事象は \(A\cup C=\{2,3,4,5,6\}\) ，
- \(A\) と \(B\) の直和は全事象 \(A+B=\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)
のようになる．
事象は標本点 \(\omega\) に関する 条件 (condition) を表す式 \(\alpha(\omega)\) を用いて記述可能
\begin{equation} A=\left\{\omega|\;\alpha(\omega)\right\} \end{equation}
骰子振り
“偶数の目” という事象 \(A\):
\begin{equation} A =\{\omega|\;\omega\text{が偶数}\} =\{2,4,6\} \end{equation}
ルーレット回し
“区間 \((0,0.5]\) の値” という事象 \(A\):
\begin{equation} A=\{\omega|\;0<\omega\le0.5\} \end{equation}
\begin{equation} \{\omega|\;\alpha(\omega)\vee\beta(\omega)\} =\{\omega|\;\alpha(\omega)\}\cup\{\omega|\;\beta(\omega)\} \end{equation}
\begin{equation} \{\omega|\;\alpha(\omega)\wedge\beta(\omega)\} =\{\omega|\;\alpha(\omega)\}\cap\{\omega|\;\beta(\omega)\} \end{equation}
\begin{equation} \{\omega|\;\alpha(\omega)^\neg\} =\Omega-\{\omega|\;\alpha(\omega)\} \end{equation}
骰子振り
それぞれの事象を条件で書くと
\begin{align} &\{\omega|\;(\omega\text{が偶数})^\neg\} =\{\omega|\;\omega\text{が奇数}\}\;\text{(余事象)}\\ &\{\omega|\;(\omega\text{が奇数})\wedge(\omega\text{が素数})\} =\{3,5\}\;\text{(交事象)}\\ &\{\omega|\;(\omega\text{が偶数})\vee(\omega\text{が素数})\} =\{2,3,4,5,6\}\;\text{(和事象)}\\ &\{\omega|\;(\omega\text{が偶数})\vee(\omega\text{が奇数})\} =\{1,2,3,4,5,6\}\;\text{(直和)} \end{align}となる．
一般には以下の2つの等式で表される関係を指す．
定義
標本空間 \(\Omega\) と任意の事象 \(A,B\subset\Omega\) に対して 以下の性質をもつ 実数値集合関数 \(P\) ( \(\Omega\) の部分集合に作用して実数を出力する関数)を 確率測度 (probability measure) という．
\begin{align} (P.1)\quad &P(A)\ge0,%\; A\subset\Omega &&\text{(正値性; positivity)}\\ (P.2)\quad &P(A+B)=P(A)+P(B),%\; A,B\subset\Omega &&\text{(加法性; additivity)}\\ (P.3)\quad &P(\Omega)=1 &&\text{(全確率は\(1\))} \end{align}
骰子振り
“いかさまのない骰子を1回振る” 試行 \(T\) の確率測度 \(P\) は
\begin{align} &P(\{1\})=P\{2\}=P\{3\}=P\{4\}=P\{5\}=P\{6\} =\frac{1}{6}\\ &P(\text{素数の目が出る}) =P(\{2,3,5\})=\frac{1}{2} \end{align}のように， 事象を入れるとその事象の起こる確率を返してくれる関数 \(P\) である．
定義
標本空間 \(\Omega\) と 事象の集合(集合族) \(\mathcal{F}\) と 確率測度 \(P\) の組 \((\Omega,\mathcal{F},P)\) を， 確率空間 (probability space) と呼ぶ．
試行 \(T\) が定まると
を考えることができる．
事象の演算に関しては以下の関係が成り立つ．
\begin{align} 1.\quad &P\Bigl(\sum_{i=1}^nA_i\Bigr)=\sum_{i=1}^nP(A_i)\\ 2.\quad &P(A-B)=P(A)-P(B)\\ 3.\quad &P(A^c)=1-P(A)\\ 4.\quad &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ 5.\quad &P(A)=\sum_{\omega\in A}P\{\omega\} \end{align}
骰子振り
“いかさまのない骰子を1回振る” 試行 \(T\) において 素数の目が出る確率は
\begin{align} P(\text{素数の目}) &=P(\{2,3,5\})\\ &=P\{2\}+P\{3\}+P\{5\} =\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6} =\frac{1}{2} \end{align}となる．
確率測度の定義にもとづいて以下を証明せよ．
\begin{align} &P(A^c)=1-P(A)\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \end{align}
“1が出るまで骰子を振り続ける” 試行
標本点 \(\langle 6,5,4,3,2,1\rangle\) が観測される確率は， 6回骰子を振る \(6^6\) 通りの中の 等しい確率で起こる1つなので
\begin{equation} P\left(\langle 6,5,4,3,2,1\rangle\right) =\frac{1}{6^6} \end{equation}となる．
事象の確率も同様
また，ちょうど6回で1が出て終わる標本点 \(\langle *,*,*,*,*,1\rangle\) (\(*\) は1以外の目) が観測される確率は， 最初の5回は1以外， 最後に1の目の \(5^5\) 通りがあるので
\begin{equation} P\left(\langle *,*,*,*,*,1\rangle\right) =\frac{5^5}{6^6} \end{equation}である．
ルーレット回し
“ルーレット回し” の試行で， ちょうど \(0.5\) の値が出る確率はいくつか？
任意の事象を考える
事象 \(A\) を要素数が無限個の適当な数の集合として， これを \(A=\{a,b,c,\dotsc\}\) と書く． 前出の加法性に従うなら事象 \(A=\{a,b,c,\dotsc\}\) に対して， 1回の試行で例えば標本点 \(a\) と \(b\) が同時に観測されることはないので，
\begin{equation} P(A)=P\{a\}+P\{b\}+P\{c\}+\dotsb \end{equation}として良い．
確率の和を考える
仮に各要素の出現確率が同じ \(\epsilon>0\) という値である場合
\begin{equation} P\{a\}=P\{b\}=P\{c\}=\dotsb=\epsilon\quad (\not=0) \end{equation}を考える． このとき要素数が無限個あるので
\begin{equation} P(A)=\epsilon+\epsilon+\epsilon+\dotsb\quad \to\infty \end{equation}となり，確率の値が \(1\) を越えてしまう．
事象 \(A\) が無限集合で 各標本点が 同様に起こり易い場合には
\begin{equation} P\{a\}=P\{b\}=P\{c\}=\dotsb=0 \end{equation}でなくてはならない．
全確率を考える
任意の標本点についてその確率が \(0\) なら， いくら足しても
\begin{equation} P(A)=P\{a\}+P\{b\}+P\{c\}+\dotsb=0 \end{equation}である．
標本空間全体についてこの議論を行えば \(P(\Omega)=0\) となってしまうので， 全事象の確率がうまく定義できない．