判別分析

基本的な考え方

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村田昇

講義の内容

第1日 : 判別分析の考え方
第2日 : 分析の評価

判別分析の考え方

判別分析

判別分析 (discriminant analysis) の目的

個体の特徴量からその個体の属する クラス を予測する関係式を構成する方法
関係式 : 判別関数 (discriminant function)
- 説明変数 : \(X=(X_{1},\dots,X_{q})\)
- 目的変数 : \(Y\) (\(K(\geq2)\) 個のクラスラベル)
判別関数による分類
- 1次式の場合 : 線形判別分析 (linear discriminant analysis)
- 2次式の場合 : 2次判別分析 (quadratic discriminant analysis)

判別分析の例

検査結果から患者が病気を罹患しているか判定する
- \(X=\) 検査結果
- \(Y=\) 病気・健康
今日の経済指標から明日株価を予測する
- \(X=\) 今日の経済指標
- \(Y=\) 明日株価の上昇・下降
今日の大気の状態から, 明日の天気を予測する
- \(X=\) 今日の大気の状態
- \(Y=\) 晴・くもり・雨・雪

判別分析の考え方

確率による定式化
1. \(X=\boldsymbol{x}\) の下で \(Y=k\) となる 条件付確率 を計算
  
  \begin{equation} p_{k}(\boldsymbol{x})=P(Y=k|X=\boldsymbol{x}) \end{equation}
2. 所属する確率が最も高いクラスに個体を分類
観測データ : \(n\) 個の \((Y,X_{1},\dots,X_{q})\) の組

\begin{equation} \{(y_{i},x_{i1},\dots,x_{iq})\}_{i=1}^n \end{equation}
観測データから\(Y\)の条件付確率 \(p_{k}(\boldsymbol{x})\) を構成

条件付確率

以下では \(X\) は離散型の \(q\) 次元確率変数として説明
事象 \(X=\boldsymbol{x}\) が起きたという条件の下で事象 \(Y=k\) が起きる条件付確率

\begin{equation} p_{k}(\boldsymbol{x}) = P(Y=k|X=\boldsymbol{x}) = \frac{P(Y=k,X=\boldsymbol{x})}{P(X=\boldsymbol{x})} \end{equation}
連続な確率変数の場合は確率密度関数を用いる

条件付確率の表現

\(Y\)の条件付確率 \(p_{k}(\boldsymbol{x})\) のモデル化の方針
- \(p_{k}(\boldsymbol{x})\) を直接モデル化する (例 : ロジスティック回帰)
- \(Y=k\) の下での \(X\) の条件付き確率質量関数
  
  \begin{equation} f_{k}(\boldsymbol{x}) = P(X=\boldsymbol{x}|Y=k)=\frac{P(X=\boldsymbol{x},Y=k)}{P(Y=k)} \end{equation}
  
  のモデル化を通じて \(p_{k}(\boldsymbol{x})\) をモデル化する
本講義では後者について説明

演習

問題

以下の問に答えなさい
- \(X,Y\)を離散確率変数とするとき， \(P(X=x|Y=k)\)から \(P(Y=k|X=x)\)を計算する式を導け

解答例

Bayesの定理を用いればよい

事象で書くと以下のようになる

\begin{equation} P(A|B) =\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} \end{equation}

離散変数の場合は

\begin{equation} P(Y=k|X=x) =\frac{P(Y=k)P(X=x|Y=k)}{P(X=x)} \end{equation}

と書くことができる

事後確率による判別

Bayes の公式

\(f_{k}(\boldsymbol{x})\) から \(p_{k}(\boldsymbol{x})\) を得る数学的原理

原因 \(X=\boldsymbol{x}\) から結果 \(Y=k\) が生じる確率 を 結果 \(Y=k\) が生じる原因が \(X=\boldsymbol{x}\) である確率 から計算する方法
Bayes の公式 (Bayes’ formula)

\begin{equation} p_{k}(\boldsymbol{x}) = P(Y=k|X=\boldsymbol{x}) = \frac{f_{k}(\boldsymbol{x})P(Y=k)}{\sum_{l=1}^{K}f_l(\boldsymbol{x})P(Y=l)} \end{equation}
- \(p_{k}(\boldsymbol{x})\): 原因 \(X=\boldsymbol{x}\) から結果 \(Y=k\) が生じる確率
- \(f_{k}(\boldsymbol{x})\): 結果 \(Y=k\) が生じる原因が \(X=\boldsymbol{x}\) である確率

Bayes の公式の略証

定義より

\begin{equation} f_{k}(\boldsymbol{x}) = P(X=\boldsymbol{x}|Y=k) = \frac{P(X=\boldsymbol{x},Y=k)}{P(Y=k)} \end{equation}
求める条件付確率

\begin{equation} p_{k}(\boldsymbol{x}) = P(Y=k|X=\boldsymbol{x}) = \frac{f_{k}(\boldsymbol{x})P(Y=k)}{P(X=\boldsymbol{x})} \end{equation}

分母の展開

\begin{align} P(X=\boldsymbol{x}) &= \sum_{l=1}^{K}P(X=\boldsymbol{x},Y=l)\\ &= \sum_{l=1}^{K}f_l(\boldsymbol{x})P(Y=l) \end{align}

事前確率と事後確率

事前確率 : \(\pi_{k}=P(Y=k)\) (prior probability)
- \(X=\boldsymbol{x}\) が与えられる前に予測されるクラス確率
事後確率 : \(p_{k}(\boldsymbol{x})\) (posterior probability)
- \(X=\boldsymbol{x}\) が与えられた後に予測されるクラス確率
Bayes の公式による書き換え

\begin{equation} p_{k}(\boldsymbol{x}) = \frac{f_{k}(\boldsymbol{x})\pi_{k}}{\sum_{l=1}^{K}f_l(\boldsymbol{x})\pi_l} = \frac{f_{k}(\boldsymbol{x})}{\sum_{l=1}^{K}f_l(\boldsymbol{x})\pi_l} \cdot\pi_{k} \end{equation}
- 事前確率が説明変数の条件付確率の重みで変更される

事前確率の決め方

事前に特別な情報がない場合

データから自然に決まる確率

\begin{equation} \pi_{k} = \frac{\text{\(Y=k\)のサンプル数}}{\text{全サンプル数}} \end{equation}
事前に情報がある場合
食事・運動・飲酒・ストレスなどの生活の特徴から生活習慣病か否かを判別
- 健常者の食事・運動・飲酒・ストレスなどの特徴量を収集
- 罹患者の食事・運動・飲酒・ストレスなどの特徴量を収集
- 事前確率は 別の調査の日本人の罹患率 を利用

線形判別分析

判別関数

判別の手続き
1. 説明変数 \(X=\boldsymbol{x}\) の取得
2. 事後確率 \(p_{k}(\boldsymbol{x})\) の計算
3. 事後確率最大のクラスにデータを分類
判別関数 : \(\delta_{k}(\boldsymbol{x})\) (\(k=1,\dots,K\))

\begin{equation} p_{k}(\boldsymbol{x}) < p_l(\boldsymbol{x}) \Leftrightarrow \delta_{k}(\boldsymbol{x}) < \delta_l(\boldsymbol{x}) \end{equation}
- 事後確率の順序を保存する計算しやすい関数
判別関数 \(\delta_{k}(\boldsymbol{x})\) を最大化するクラス \(k\) に分類

線形判別

\(f_{k}(\boldsymbol{x})\) の仮定
- \(q\) 変量正規分布の密度関数
- 平均ベクトル \(\boldsymbol{\mu}_{k}\) : クラスごとに異なる
- 共分散行列 \(\Sigma\) : すべてのクラスで共通
  
  \begin{equation} f_{k}(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{q/2}\sqrt{\det\Sigma}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{k})^{\mathsf{T}} \Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{k})\right) \end{equation}
線形判別関数 : \(\boldsymbol{x}\) の1次式

\begin{equation} \delta_{k}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}\Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu}_{k} -\frac{1}{2}\boldsymbol{\mu}_{k}^{\mathsf{T}}\Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu}_{k} +\log\pi_{k} \end{equation}

平均・分散の推定

平均の推定 (クラスごとに行う)

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{k} = \frac{1}{n_{k}}\sum_{i:y_{i}=k}\boldsymbol{x}_{i} \end{equation}
- ただし \(n_{k}\) は \(y_{i}=k\) であるようなデータの総数
分散の推定 (まとめて行う)

\begin{equation} \hat{\Sigma} = \frac{1}{n{-}K}\sum_{k=1}^{K}\sum_{i:y_{i}=k} (\boldsymbol{x}_{i}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{k}) (\boldsymbol{x}_{i}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{k})^{\mathsf{T}} \end{equation}

演習

問題

以下の問に答えなさい
- \(X\)の条件付確率 \(f_{k}(\boldsymbol{x})\) に関する仮定
  - \(q\) 変量正規分布の密度関数
  - 平均ベクトル \(\boldsymbol{\mu}_{k}\) : クラスごとに異なる
  - 共分散行列 \(\Sigma\) : すべてのクラスで共通
  のもとで事後確率と線形判別関数の同値性
  
  \begin{equation} p_{k}(\boldsymbol{x}) < p_l(\boldsymbol{x}) \Leftrightarrow \delta_{k}(\boldsymbol{x}) < \delta_l(\boldsymbol{x}) \end{equation}
  
  を示しなさい

解答例

同値関係を順に確認すればよい

\begin{align} &p_{k}(\boldsymbol{x}) < p_l(\boldsymbol{x})\\ &\Leftrightarrow f_{k}(\boldsymbol{x})\pi_{k} < f_l(\boldsymbol{x})\pi_l\\ &\qquad\text{(分母は共通)}\\ &\Leftrightarrow \log f_{k}(\boldsymbol{x})+\log\pi_{k} < \log f_l(\boldsymbol{x})+\log\pi_l\\ &\Leftrightarrow -\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{k})^{\mathsf{T}} \Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{k})+\log\pi_{k}\\ &\phantom{\Leftrightarrow}\quad < -\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_l)^{\mathsf{T}} \Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_l)+\log\pi_l\\ &\qquad\text{(2次の項は右辺と左辺で共通)}\\ &\Leftrightarrow \delta_{k}(\boldsymbol{x}) < \delta_l(\boldsymbol{x}) \end{align}

2次判別分析

2次判別

\(f_{k}(\boldsymbol{x})\) の仮定
- \(q\) 変量正規分布の密度関数
- 平均ベクトル \(\boldsymbol{\mu}_{k}\) : クラスごとに異なる
- 共分散行列 \(\Sigma_{k}\) : クラスごとに異なる
  
  \begin{equation} f_{k}(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{q/2}\sqrt{\det\Sigma_{k}}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{k})^{\mathsf{T}} \Sigma_{k}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{k})\right) \end{equation}
2次判別関数 : \(\boldsymbol{x}\) の2次式

\begin{equation} \delta_{k}(\boldsymbol{x}) = -\frac{1}{2}\det\Sigma_{k} -\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{k})^{\mathsf{T}} \Sigma_{k}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{k}) +\log\pi_{k} \end{equation}

平均・分散の推定

平均の推定 (クラスごとに行う)

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mu}}_{k} = \frac{1}{n_{k}}\sum_{i:y_{i}=k}\boldsymbol{x}_{i} \end{equation}
- だたし \(n_{k}\) は \(y_{i}=k\) であるようなデータの総数
分散の推定 (クラスごとに行う)

\begin{equation} \hat{\Sigma}_{k} = \frac{1}{n_{k}-1}\sum_{i:y_{i}=k} (\boldsymbol{x}_{i}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{k}) (\boldsymbol{x}_{i}-\hat{\boldsymbol{\mu}}_{k})^{\mathsf{T}} \end{equation}

演習

問題

以下の問に答えなさい
- \(X\)の条件付確率 \(f_{k}(\boldsymbol{x})\) に関する仮定
  - \(q\) 変量正規分布の密度関数
  - 平均ベクトル \(\boldsymbol{\mu}_{k}\) : クラスごとに異なる
  - 共分散行列 \(\Sigma_{k}\) : クラスごとに異なる
  のもとで事後確率と2次判別関数の同値性
  
  \begin{equation} p_{k}(\boldsymbol{x}) < p_l(\boldsymbol{x}) \Leftrightarrow \delta_{k}(\boldsymbol{x}) < \delta_l(\boldsymbol{x}) \end{equation}
  
  を示しなさい

解答例

同値関係を順に確認すればよい

\begin{align} &p_{k}(\boldsymbol{x}) < p_l(\boldsymbol{x})\\ &\Leftrightarrow f_{k}(\boldsymbol{x})\pi_{k} < f_l(\boldsymbol{x})\pi_l\\ &\Leftrightarrow \log f_{k}(\boldsymbol{x})+\log\pi_{k} < \log f_l(\boldsymbol{x})+\log\pi_l\\ &\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\det\Sigma_{k} -\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{k})^{\mathsf{T}} \Sigma_{k}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_{k}) +\log\pi_{k}\\ &\phantom{\Leftrightarrow}\quad < -\frac{1}{2}\det\Sigma_l -\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_l)^{\mathsf{T}} \Sigma_l^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_l) +\log\pi_l\\ &\Leftrightarrow \delta_{k}(\boldsymbol{x}) < \delta_l(\boldsymbol{x}) \end{align}

さまざまな多値判別

多値判別の構成方法

判別関数の比較
- 判別関数 \(\delta_{k}\) を比較
- 正規分布を仮定する場合は一般には2次判別
2値判別の統合
- 2クラスでの比較 : 最大の組合せ数 \({}_{K}C_{2}\)
- グループでの比較 : 最大の組合せ数 \(2^{K}-2\)
\(K{-}1\) 個の特徴量への変換
- 説明変数の線形結合による特徴量の構成
- 異なる\(K\)種の点の集合を\(K{-}1\)次元空間に配置
- Fisher の線形判別

変動の分解

3種類の変動
- \(A=\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu})(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}}\) : 全変動
- \(W=\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}})(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}})^{\mathsf{T}}\) : 群内変動
- \(B=\sum_{k=1}^{K}n_{k}(\boldsymbol{\mu}_{k}-\boldsymbol{\mu})(\boldsymbol{\mu}_{k}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}}\) : 群間変動
  (\(n_{k}\) はクラス \(k\) のデータ数)
変動の関係

\begin{equation} \text{(全変動)} = \text{(群内変動)} + \text{(群間変動)} \end{equation}

\begin{equation} A = W + B \end{equation}

演習

問題

以下の問に答えなさい
- 全変動が群内・群間変動に分解されることを示しなさい
- 説明変数の線形結合で新たな特徴量を構成する
  
  \begin{equation} Z=\boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}} X \end{equation}
  
  このとき\(Z\)の群内変動と群間変動を求めなさい

解答例

定義どおりに計算する

\begin{align} A &=\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}) (\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}}\\ &= \sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}+\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}-\boldsymbol{\mu}) (\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}+\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}}\\ &= \sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}) (\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}})^{\mathsf{T}} + \sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}-\boldsymbol{\mu}) (\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}}\\ &\quad +\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}) (\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}} +\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}-\boldsymbol{\mu}) (\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}})^{\mathsf{T}} \end{align}

添字の扱いに注意する

\begin{align} &= \sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}) (\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}})^{\mathsf{T}} + \sum_{k=1}^{K}\sum_{i:y_{i}=k} (\boldsymbol{\mu}_{k}-\boldsymbol{\mu}) (\boldsymbol{\mu}_{k}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}}\\ &\quad +\sum_{k=1}^{K}\sum_{i:y_{i}=k} (\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{k}) (\boldsymbol{\mu}_{k}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}} +\sum_{k=1}^{K}\sum_{i:y_{i}=k} (\boldsymbol{\mu}_{k}-\boldsymbol{\mu}) (\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{k})^{\mathsf{T}}\\ &= \sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}) (\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}})^{\mathsf{T}} + \sum_{k=1}^{K}n_{k}(\boldsymbol{\mu}_{k}-\boldsymbol{\mu}) (\boldsymbol{\mu}_{k}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}}\\ &= W+B \end{align}

定義どおりに計算する

\begin{align} \sum_{i=1}^{n} (z_{i}-\mu_{y_{i}})^{2} &= \sum_{i=1}^{n} (z_{i}-\mu_{y_{i}})(z_{i}-\mu_{y_{i}})\\ &= \sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{x}_{i} -\boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}) (\boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{x}_{i} -\boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\mu}_{y_{i}})^{\mathsf{T}}\\ &= \boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}} \sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}}) (\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{\mu}_{y_{i}})^{\mathsf{T}} \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}} W\boldsymbol{\alpha}\\ \sum_{k=1}^{K}n_{k}(\mu_{k}-\mu)^{2} &= \boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}} B\boldsymbol{\alpha} \end{align}

Fisher の判別分析

Fisherの線形判別

判別のための特徴量 \(Z=\boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}} X\)
- 特徴量\(Z\)のばらつきの計算は主成分分析と同様
- 変動 \(A,W,B\) を Gram 行列とみなせばよい
良い \(Z\) の基準
- クラス内では集まっているほど良い (\(\boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}} W\boldsymbol{\alpha}\)は小)
- クラス間では離れているほど良い (\(\boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}} B\boldsymbol{\alpha}\)は大)
Fisherの基準

\begin{equation} \text{maximize}\quad \boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}} B\boldsymbol{\alpha} \quad\text{s.t.}\quad \boldsymbol{\alpha}^{\mathsf{T}} W\boldsymbol{\alpha}=\text{const.} \end{equation}
- クラス内変動を一定にしてクラス間変動を最大化する

Fisherの線形判別の解

\(\boldsymbol{\alpha}\) は \(W^{-1}B\) の固有ベクトル (主成分分析と同様)
- \(K=2\) の場合 : 最大固有値を用いる (線形判別と一致)
  
  \begin{equation} \boldsymbol{\alpha}\propto W^{-1}(\boldsymbol{\mu}_{1}-\boldsymbol{\mu}_2) =\Sigma^{-1}(\boldsymbol{\mu}_{1}-\boldsymbol{\mu}_2) \end{equation}
- 一般の \(K\) の場合 : 第1から第 \(K{-}1\) 固有値を用いる
判別の手続き
- 特徴量とクラスの中心までの距離を用いる
  1. \(d_{k}=\sum_{l=1}^{K{-}1}(\boldsymbol{\alpha}_l^{\mathsf{T}}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\alpha}_l^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\mu}_{k})^2\) を計算
  2. 最小の \(d_{k}\) となるクラス \(k\) に判別
- 特徴量 \(Z\) の空間をクラスごとの平均を用いて Voronoi 分割している